2017入試問題メモ7（中部地方）
問題は↓
（国立大学）
1 硬貨を続けて投げて，表や裏が連続したら終わりの確率
4 積分の誘導から$ n^n e^{-n+1} < n! < (n+1)^{n+1} e^{-n}$を示す
1 多項定理
前期
経他 4 $ n $が整数のとき$ f(n)$が整数になる条件など
後期
理（数学科）
1(3) $ \vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3),\ \vec{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$のなす角を$ \theta $とするとき，$ |\vec{a}| |\vec{b}|\cos\theta =a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 $を示す．
理系 4 ニュートン法
人間 2 フェルマーの小定理 $ p=7 $
後期 2 $ \cos \dfrac{2\pi}9 $の評価 4 コインを投げて表の出た回数を3で割った余りの確率
医 1 $ x+2y+5z=10n $ 格子点 2 検査の確率 3 サイクロイドの法線 4 球の断面
教 $ \sum [ \log_3 k] $
工他 4 $ \sum \dfrac1{e^k+1} <\log 2 $を示す．
教他 1(4) $ x+y+z \geqq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \geqq \cdots $を示す．
医 2(2) 二項係数 4円錐を切ると放物線
5 $ \dfrac{\cos x \sin 2n x}{\sin x}$の積分 類14東北大
医理経
1 データの分析（共分散） 6 アステロイドの長さ 7 場合分けのある極限
教育
1 $ \sum k^3 $の証明 3 $ \dfrac{\log x}x $の極限
後期
3 放物線と正弦曲線の交点，面積
前期3 $ \pi $の近似 同10大分大・医 4 減衰曲線 7 余りの論証
後期 3 $ 2 \left( \dfrac{m+1}{e} \right)^{m+1} > m! $の証明
農他 2 $ \tan A \tan B \tan C=\tan A+\tan B+\tan C $ 類17島根大
4 $ \{ m^2+n^2\ |\ m,\ n \in Z \} $が積について閉じていることの論証
2 直交2円柱 (3)に共通部分の図示
4 誤謬率の定義を考案し，その意図を述べる
1 $ 8 \sum (k^5+k^7) =n^4 (n+1)^4 $の証明
5 Pell方程式
9 1の5乗根について
2 放物線と接線
理系
2 立方体の頂点上のランダムウォーク
3 球の影 (3)は式のみを追ってもできるが，図形的に考えれば早い
4 巡回群
文系 3 難しい整数の論証
前期
2 外サイクロイド（特にネフロイド）の長さ
3 $ \sum \dfrac1{2^n} \tan \dfrac{\theta}{2^n}$
4 $ 3\alpha^2-6\alpha \beta+4\beta^2 $から三角形を決める
後期
1 放物線の法線，軌跡（放物線の平行曲線が放物線と交わる条件）
2 $ \sum \sin \dfrac{\pi}{n+2k}$の極限 類 04京都工芸繊維大（後）
4 四面体と球の共通部分の体積
（公立大学）
2 不等式 3 $ \dfrac{x^n}{e^x}$の極限 4 $ y=\log x $，接線，体積
岐阜薬科大学
1 三角形に内接する円の列
3 $ \log_x y-\log_y x^{\frac12}< -\dfrac12 $の領域
4 $ 2\alpha^2-2\alpha \beta+\beta^2=0 $ 類17 名古屋工業大学
3 $ e^x x^{n-1} \sin x $の積分 4 $ \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^2 =8i $から三角形のいろいろ
名古屋市立大学
前 2 連の個数 4 $ 2^{n-1} \cos \dfrac{(n-1)\pi}3 $
中 1 $ x^b \log x $の極限 2 カテナリー 3 双六
（私立大学）
3 楕円
1(6) $ x-1,\ x+2 $で割った余りを与えて$ (x-1)(x+2)$で割った余り
(8)正四面体のいろいろ
愛知医科大学
3 ババ抜き 同95京大
2/2 歯薬 4(2)抽象的な条件付確率
全体として基礎的で素直な良問
1/27 1(7)傘を忘れるA君，条件付確率 (11) 正八面体のv，e，f
経済B 2/9 $ \displaystyle \int_{x}^{x^2} \log t\ dt $を極大にする$x $
外・経 2/11 1(2)三角形折り紙 (3) ガラスを重ねて光が弱まる常用対数
1(7) 正20面体の辺の本数 (8) 等面四面体（知らなくても解ける）
理工 2/2 1(1) 意外に難しい三角比
農 2/2 3 $ y=| x^2 -3x | $と$ y=ax $で囲まれる面積の最小値
理工2/3 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} n \int_0^1 x^n e^x\ dx $ （$ \delta $関数絡み）類13京都産業大
法 2/3 1(3)6冊の本を分ける場合の数のいろいろ
3 3倍角から$ \dfrac{\pi}{5}$，正五角形の内接円と外接円の半径の比
経 2/11 1 円順列
理工B 2/18 $ m^n \leqq n^m\ (2\leqq m<n ) $を満たす整数$ m,\ n $の組
円と正多角形を次々に外接させると
twitterで見つけた問題です．
半径1の円$ C_3 $に外接する正三角形を$ P_3 $とする．
$ P_3 $に外接する円を$ C_4 $とする．
$ C_4 $に外接する正方形を$ P_4 $とする．
$ P_4 $に外接する円を$ C_5 $とする．
$ C_5 $に外接する正五角形を$ P_5 $とする．
・・・
以下同様に，円$ C_n $が定義されたとき，
$ C_n $に外接する正$ n $角形を$ P_n $とする．
さらに，$ P_n $に外接する円を$ C_{n+1}$とする
($ n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots $)
円$ C_n $の半径を$ r_n\ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$とするとき，
$$ \lim_{n \to \infty} r_n $$
の収束・発散を調べる
というものです．
結論は「収束する」であり，その値は$ 8.7000\cdots $
です．
（極限値が正確にどうなるかは，現時点では私には分かりません）
「収束する」ことの証明なら，次のような感じで
大学入試レベル（標準よりやや上？）の問題になりそうです．
(1) $ \dfrac{r_n}{r_{n+1}} =\cos \dfrac{\pi}n $を導き，次を示せ．
$ r_{n}=\dfrac{1}{\ \cos \dfrac{\pi}3 \cos \dfrac{\pi}4 \cdots \cos \dfrac{\pi}n\ }\ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
(2) $ x>0 $のとき，$ \cos x >1-\dfrac{x^2}2 $と
$ e^x>1+x $を示せ．
(3) $ 0<x<\dfrac{\pi}4 $のとき，$ \dfrac{1}{\ 1-\dfrac{x^2}2\ }<1+x^2 $と$ \dfrac1{\cos x}<e^{(x^2)}$を示せ．
(4) $ n=4,\ 5,\ 6,\ \cdots $に対して，次の不等式を示せ．
$ \dfrac{1}{4^2} +\dfrac{1}{5^2}+\cdots +\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{3\cdot 4}+\dfrac{1}{4\cdot 5}+\cdots +\dfrac{1}{(n-1)n} <\dfrac{1}{3} $
(5) $ r_n<2 e^{\frac{\pi^2}3} $を示せ．
ちなみに，$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $が絶対収束するならば$ (1+a_1)(1+a_2)(1+a_3) \cdots $が収束することはよく知られており，その証明に倣いました．
$ 53< 2e^{\frac{\pi^2}3} <54 $なので，かなり粗いです．
もう少し精度を上げたいなと．
一番有力なのは
$$ \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\dfrac{a^2}{n^2} \right) = \dfrac{\sin \pi a}{\pi a} $$
や
$$ \prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\dfrac{a^2}{n^2} \right) = \dfrac{e^{\pi a }-e^{- \pi a}}{2\pi a} $$
を用いるものです．
ただし，
$$ \prod_{n=1}^{\infty} a_n =a_1 a_2 a_3\cdots $$
(無限積)です．
これらで$ 1-\dfrac{x^2}2 $や$ 1+x^2 $の積の部分を求めるのが一手．
（一般的な高校生のレベルでは難しいかもしれませんが）
高校生レベルでは上の(2)(4)を
$ \cos x > 1-\dfrac{8}{\pi^2} x^2\ \left(0<x<\dfrac{\pi}4 \right)$
$ \dfrac1{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}4 $
にして，$ \cos \dfrac{\pi}3 \cos \dfrac{\pi}4 =\dfrac{1}{2\sqrt2} $を用いると，
$ r_n <2\sqrt{2} e^2 =20.899 \cdots $
まではできました．
（もっと強い評価式を作れば，さらに改善できます・・・）
2017入試問題のメモ5（東京都内の私立大学と～わ）
問題は↓ （公開されている大学のみ）
過去問題へのリンク（東京都内の私立大学） - tactn001のブログ
医 2/2 全体的にとても作業量が多くて大変
医 2/3 同じく．特に第3問が重い
理・工A 2/7 3 さいころを75回振って1の目が何回出る確率が最大か など
東京医科大学 旧来マーク式のみだったが，第5問で領域の図示が登場
2(2) $ f(x)=\displaystyle \int_1^x \dfrac{x+4t}{\sqrt{3 x^4+t^4}}\ dt\ (x>0)$で$ f'(2) $
2/9 1 $ y=x^2 $と$ y=m(x+3)+5 $が2点で交わる条件と，2交点の中点の軌跡
2 空間ベクトル（カルノーの定理）
2 平凡な微積のようだが，関数の切れ目で接線を引くので，微分可能性などに気を遣う
3 整数 4 本格的な複素数平面（類99 京大理系前）
数理（キチンとした学力があれば
高得点を狙える品の良い問題）
1 $ A=\{\ a+b\sqrt{2}\ |\ a,\ b \in Q \}$について，
$ x\ (\neq 0) \in A $のとき，$ \dfrac1x \in A $を示す．
2 $ 17x+15=1 $の整数解について，$ |x|+|y| $の最小値
6 $ a_{n+1}=\dfrac{2a_n-1}{a_n+4}$について，$ \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n $
7 $ \left| z-\dfrac12 \right| =\dfrac12 $のとき，$ \dfrac1z $の軌跡
2/1 2梯子と最短経路 3 楕円領域$ \dfrac{x^2}3+y^2\leqq 1,\ x^2+\dfrac{y^2}3 \leqq 1 $の面積と体積 類16福島大
2/2 工・知 3 複素数から$ \cos \dfrac25 \pi $(頻出) 4 $ a=\log \dfrac{2x}{1+x^2}$の実数解の個数
2/2 メディア 2 3つの放物線と面積
薬B 普通な問題
生命B 1(2) $ a_{n+1}=\dfrac{\sqrt3 a_n-1}{a_n+\sqrt3} $ $ a_n=\tan\theta $とおいて
周期性の発見（薬2(2)のベクトルと類似）
4 さいころ$ n $回 目の積を3で割ると2余る確率
経営2/2 1台形のいろいろ
基礎工2/4 2 靴屋のナイフ 3 楕円の極線，体積（計算キツイ）
理，薬（生命）1(2) 放物線の3接線で囲む三角形の外接円が焦点を通る
4 一歩 or 2歩進んで$ n $に到達する確率（同05慶應理工，15横市医，類07理科大薬）
薬2/7 ５は考え方も計算量も厳しい．
理2/8 数学科単独の4，5は非常に難しい（それでも例年より易化）
工2/9 1(1)領域と実数条件 3(4)複素数平面．計算も図形的考察も必要で洒落ている．
医 90分で10題になった
2 $ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-x}{x^3+1}\ dx $ 7 トレミーの定理的な 8 分散
理A 3 正20角形の面積から$ \pi >3.09 $を示す．$ \cos \dfrac{\pi}5 $の誘導あり．
理B生 3 積分に関するコーシー・シュワルツの不等式の証明（1次式限定）
理C 2 $ x^2-(a+5)x+(a-2)^2=0 $の実数解についてのいろいろ
看護 1(5) $ \sqrt{315 n}$が整数となる最小の$ n $ (7)正八面体の面，辺，頂点の個数
3 ピタゴラス数（斜辺の一方が3，4と互いに素のとき，他方が12で割り切れることを示す）
健康A 4-1 円束
健康B 4-1 円が直線から切り取る線分の長さ
2/1 2 アイドルグループSGU37（確率）3 $ y=\sin x,\ y=\sin 3x $面積
N 5センター風味のデータの分析
医A 3 角速度 5 デルトイド
生産工A 2/2 やや考えにくい図形
理工2/11 1(3)データの分析（四分位範囲）
前期 2 $ \dfrac{\pi}7 $の三角関数（複素数）3 積分の極限 5 楕円の極方程式
後期 5 積分型のヘルダーの不等式（大学のテキストそのまま，試験時間内では難）
日本獣医生命科学大
1 $ 37x+53y=41 $で$ |x+y|$の最小値など
理 4 さいころを5回投げて3種類の目が出る確率など
法政大学
文系2/7 1 $ 1\leqq x,\ y,\ z \leqq 3 $で$ \dfrac{y+z+xy}{xy+xz}$の動く範囲
3 $ y=\dfrac{x^3}3-3x^2+6x $に$ \left(-\dfrac43,\ 1 \right)$から引いた接線（3本の傾きが有理数）
理系 2/14 $ y=\dfrac{\log x}{\sqrt{x}}$ $ y $軸回転（類16熊本大）
1 完全順列の確率 2 領域，実数条件 6 易しい群数列
2/2 634，634634，634634634，・・・の中に2017の倍数があることの証明（鳩の巣）
2/4 プトレマイオスの定理の証明
武蔵野美術大学
1(2) 立方体を合同な3つの立体に切り分ける
3 正20面体の隣り合う2面のなす角の余弦
全学統一 理系2/5 4 斜め楕円の体積（面倒）
理工2/7 1(4)面倒な場合の数 2 図形の難問 3 断面求めて体積
総合数理 2 複素数（反転） 4 規則の複雑な数列 5 計算の大変な微積
政治経済 1(4) 二等辺三角形から$ \sin \dfrac{\pi}{10}$
(6) 漸化式 $ a_{n+1}=3a_n+2n+1 $ ノーヒント 類16山形大など
商 3ー2 $ \varphi (p^a q^b )$ 以前に比べると，抑制が効いて実力を発揮しやすいセット
農 他の学部に比べると落ち着いた難度
全学部 1(2) ポーカー (3) 半径1の球に内接する正四面体の体積
A 2/6 2 領域と対数
前1 $ n $の1の位を$ f(n)$として$ f(n^2)-f(n)$についての考察
後2 三角形の折り紙
立教大
どの方式も，第1問の小問集合の量が多い．
大問は，標準的なので目立つ問題は少ないが，実力差の出るセット．
文系 2/14 $S_{n+2}-6S_{n+1}+8S_n=-2 $
人間科学セ 全体としてかなり穏やか
国際教養 2 なす角$ \dfrac{\pi}4 $で一定の軌跡
スポ科 2 場合分けのある合成 3 確率の最大値 例年より難しめ
理工系 1 反転3回 内部が内部に移ることの論証は，現実的にはラフでよいか．類17東大
3 体積比 4 確率
5 方程式の解が回る話．
初め，「実数係数」と読み間違えていたので違和感がなかったのですが，複素係数も考えるのですね．．．受験生に要求するのは酷では．
人間科学 4 複素数のベクトル的な扱い 5 楕円になる軌跡
教育 大変な難問セット
（標準化した点数しか発表されないので目標をつかみづらいが，
合格した受験生に取材した結果では2割～3割でも合格が望める ^^; ）
1(1) 直線の通過領域．面積．小問で出すか・・・（97年に前例があるけれど）
(2) 場合の数の漸化式．難しい．
(3) $ \cos \dfrac{\pi}7 $を解にもつ3次方程式をノーヒントで作らせる．酷
(4) 難しい関数方程式．受験生に疎遠な話題の上，要求されている技術的水準が高い．
2 複素数．何がポイントなのか掴みにくく，入り口に立つのさえ困難
3 唯一，普通の大問．ただし，空間ベクトルなのと，計算がやや辛い
4 点灯する電球の個数の数列．壊滅状態だったとか．
政治経済 やや易化したが1(3)複素数 (4)積和和積などはキツイでしょう
商 1(3) 三角形の内部の点から辺に下ろした垂線の長さの2乗の和の最小．
2 群数列．突破口をつかむのが難しく，計算もキツイ
3 チェビシェフ多項式．(1)は結果を与えないと無理でしょう．14年教育と酷似
