必要条件と十分条件について
必要条件と十分条件についての記事です．
「矢印で迷子になってしまう」という人を対象にしました．
数学ガチ勢向けではなく，一般の方やこの分野が苦手な方を想定して書きます．
例題が多いので長いですが，お付き合いください．
（入門は例題4まで，基本的な内容は例題9までカバーできます）
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１．準備
（準備1） 数学において「AならばB」と言ったときは
「Aならば例外なくB」「Aならば必ずB」という意味になります．
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（例1）「6の倍数ならば3の倍数である」は正しい？誤り？
（6の倍数は例外なく3の倍数である．）これは正しい主張．
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（例2）「3の倍数ならば6の倍数である」は正しい？誤り？
3の倍数0，±3，±6，±9，±12，・・・の中には6の倍数も含まれるので半分正しくて半分誤りのように思える人もいるかもしれませんが，
「3の倍数ならば例外なく6の倍数である」
と読めば，誤りであると分かると思います．
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（準備2） 数学において「AまたはB」といったときは
「A，Bの少なくとも一方」という意味になります．
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2．必要条件と十分条件
矢印の向きだと思っている人は，それを忘れて，日本語の問題として取り組んでください．
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（例題1）あなたが生きていくうえで，呼吸をすることは必要ですか？
それとも呼吸をすれば十分ですか？
（答） 呼吸をしなければ死んでしまいますよね．呼吸は生きていくためには必要です．一方，呼吸さえしていれば生きていけるか？それは無理ですよね．栄養も取らなければいけないし，その他，諸々・・・．
したがって，呼吸をすることは必要です．（十分ではない）
（1分程度なら止められますが，今はそこは突っ込まないで下さい💦）
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（例題2）あなたが生きていくためには，呼吸をすることは必要条件ですか？
それとも十分条件ですか？
（答）（例題1）から分かる通り，必要条件です．十分条件ではない．
生きていくためには，呼吸をしなければいけない．
生きていくためには，呼吸をすることが必要である．
〇〇でなければいけない，〇〇であることが必要であるという条件が，必要条件です．
「1分程度なら止められるから，細かいこと言えば必要条件じゃなくね？」
と突っ込みたくなった方は素晴らしい．
もう，あなたは「必要条件」を理解しています．
"条件"という言葉が難しく感じる人は，"条件"という言葉を抜いて考えてOKです．
必要か？十分か？
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（例題3）100円（税込み）の菓子を買おうと思います．所持金以外の前提はすべて整っているとします．このとき，200円持っていることは必要ですか？
それとも200円持っていれば十分ですか？
（答）200円持っている必要はないですよね．
一方，200円持っていれば確実に買うことができます．
したがって，100円の菓子を買うには200円持っていることは十分です．（必要ではない）
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（例題4）100円（税込み）の菓子を買おうと思います．所持金以外の前提はすべて整っているとします．この菓子を買うためには，200円持っていることは必要条件ですか？それとも十分条件ですか？
（答）（例題3）から分かる通り，十分条件です．（必要条件ではない）
100円の菓子を買うためには，200円持っていればよい．
100円の菓子を買うためには，200円持っていれば十分．
〇〇であればよい，〇〇であれば十分であるといえる条件が十分条件です．
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「○○でなければいけない」と「○○であればよい」を日常的にはあまり区別しないこともあり，そこが分かりにくい原因の一つかもしれません．しかし，両者に大きな意味の違いがあることは，（例題1）～（例題4）でご理解いただけると思います．
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数学の問題に行く前に，もう2つ練習を．
（例題5）公道で自動車を運転をするためには，運転免許を持っていることは必要条件ですか？十分条件ですか？
（答）免許を持っていないと運転はできません．運転するためには，免許を持っていることは必要です．
しかし，免許を持っていれば十分かというと，そうではありません．例えば，お酒を飲んで酔っ払っていたら，たとえ免許を持っていても運転してはいけません．したがって，免許を持っていることは必要条件です（十分条件ではない）．
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（例題6）運転免許を持っていることは，公道で自動車を運転するための必要条件ですか？十分条件ですか？
（答）（例題5）と同じことを問うています．必要条件です．十分条件ではない．
言葉の順序の違いですが
（ア）「Aであるためには，Bであることは必要条件？十分条件？」
と問われるケースと
（イ）「Bであることは，Aであるための必要条件？十分条件？」
と問われるケースがあります．
語順が変わっているだけで中身は同じです．
慌てると読み間違いやすいので注意しましょう．
同じ内容とはいえ，分かりやすさに差を感じるかもしれません．
そのときは，ご自身にとって分かりやすいほうで考えるので構いません．
この記事では，原則として（ア）の表現を用います．
入試や問題集では（イ）の表現の方が多い印象です．
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では，題材を数学にします．考え方は今までと同じです．
（例題7）整数nが6で割り切れるためには，nが2で割り切れることは必要条件ですか？十分条件ですか？
（答）6の倍数0，±6，±12，±18，・・・は例外なく2で割り切れます．
2で割り切れない整数は，6の倍数であるはずがありません．
2で割り切れない整数は，決して6で割り切れません．（しつこい💦）
よって，6で割り切れるためには，2で割り切れることは必要です．
一方，6で割り切れるためには，2で割り切れれば十分でしょうか？
そんなことはなく，3でも割り切れなければいけません．
よって，整数nが6で割り切れるためには，nが2で割り切れることは必要条件となります（十分条件ではない）．
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（例題8）整数nが2で割り切れるためには，nが6で割り切れることは必要条件ですか？十分条件ですか？
（答）［（例題7）と混乱しそうな人は，（例題7）を忘れて考えてください］
2で割り切れる整数0，±2，±4，±6，±8，・・・を観察しましょう．
6で割り切れる必要ってありますか？ ないですよね．
一方，6で割り切れる整数0，±6，±12，±18，・・・は2で割り切れます．
6で割り切れる整数は，確実に2で割り切れます．
2で割り切れるためには，6で割り切れたら十分です．
よって，整数nが2で割り切れるためには，nが6で割り切れることは十分条件となります（必要条件ではない）．
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（例題9）実数xについて，x≧100であるためには，x≧200であることは必要条件ですか？十分条件ですか？
（答）x≧100であるために，x≧200である必要はありません．x=107でもx=123.45でも大丈夫．
一方，x≧200なら，確実にx≧100であると言えます．
x≧200なら，十分にx≧100を満たしています．
したがって，x≧100を満たすためには，x≧200であることは十分条件となります（必要条件ではない）．
お気づきの方も多いと思いますが，（例9）は（例3）（例4）のお菓子の問題と同じです．
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今までの内容が理解できた方は，必要条件，十分条件というものを立派に理解しています．
したがって，必要条件，十分条件についての説明はここで終わりです．
あとは，必要条件か十分条件かの判定をする問題をたくさん解いて，練習あるのみです．初めは難しく感じるかもしれません．しかし，慣れてくれば判定が易しい問題では迷いなく解けるようになるはずです．じっくり取り組みましょう．
たくさん解いたけれど，難しくて進まないということもあると思います．
それは，問題そのものが難しいからで，自然なことです．
「難しい問題も解きたいよ！」という人向けに，もう少し続けます．
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3．必要条件，十分条件と矢印
「矢印」との関係について述べます．（例題10）は難しめです．先に（例題11）を読んでから戻ってきても構いません．
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（例題10）実数x，yについて，x>0かつy>0であるためには，xy>0であることは必要条件ですか？十分条件ですか？
（答1）［今までに比べると，難しい説明だと思います］
xy>0でなかったら，「x>0かつy>0」であるわけはありません．
実際，実数x，yについては，xy>0でないとしたら xy=0 か xy<0 です．
xy=0なら，xかyの少なくとも一方は0なので，「x>0かつy>0」にはなり得ません．
xy<0なら，x，yの一方が0より大きく，他方は0より小さいです．したがって，「x>0かつy>0」にはなり得ません．
以上で，xy=0とxy<0のときには「x>0かつy>0」となる可能性は否定されたので，[x>0かつy>0」となるためには，xy>0とならなければいけません．つまり，xy>0であることは必要です．
一方，xy>0であれば十分かというと，それは誤りです．実際，x=-1，y=-2でもxy>0は成り立ちますが，「x>0かつy>0」は満たしません．
ゆえに，「x>0かつy>0」が成り立つためには，「xy>0」であることは必要条件ではあるが十分条件ではないとなります．
（答2）矢印を補助に使います．「Aならば必ずB」を「A ⇒ B」と表します．
まず，「x>0かつy>0」ならば必ず「xy>0」です．
つまり，「x>0かつy>0」⇒「xy>0」は真（正しい）です．
一方，「xy>0」だからといって，必ずしも「x>0かつy>0」とは言えません．
つまり，「xy>0」⇒「x>0かつy>0」は偽（誤り）です．
さて，これを日本語で言い換えていきます．
「x>0かつy>0」ならば必ず「xy>0」です．
すなわち，xy>0でなかったら，「x>0かつy>0」ではあり得ません．
同じことですが，「x>0かつy>0」であるためには，「xy>0」が成り立っていないといけません．
したがって，「x>0かつy>0」であるためには，「xy>0」であることが必要です．
一方，「xy>0」だからといって，「x>0かつy>0」とは言えません．x=-1，y=-2のような例があるからです．
つまり，「x>0かつy>0」というためには，「xy>0」だけでは十分とは言えません．
以上から，「x>0かつy>0」であるためには，「xy>0」であることは必要条件となります．（十分ではない）
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（例題11）［例10は少し難しいので，もう少しシンプルなもので］
高校生のあるスポーツは，県大会の成績上位者しか全国大会に出場できません．全国大会に出場するためには，県大会に出場することは必要条件ですか？十分条件ですか？
（答1）県大会に出場しなければ，全国大会には出場できません．全国大会に出場するためには，県大会に出場することは必要です．
しかし，県大会に出場するだけではなく，そこで成績上位者にならないと全国大会には出場できません．県大会に出場するだけでは十分とは言えません．
したがって，全国大会に出場するためには，県大会に出場することは「必要条件ではあるが，十分条件ではない」となります．
（答2）全国大会に出場しているならば，必ず県大会には出場しています．
つまり「全国大会に出場 ⇒ 県大会に出場」は真です．
逆に，県大会に出場しているからと言って，全国大会に出場したかというと，必ずしもそうは言えません．
つまり，「県大会に出場 ⇒ 全国大会に出場」は偽です．
さて，この2つを日本語で言い換えていきます．
全国大会に出場しているということは，必ず県大会に出場しています．
全国大会に出場するためには，県大会に出場しなければいけません．
全国大会に出場するためには，県大会に出場することが必要です．
一方，
全国大会に出場するためには，県大会に出場するだけで十分か？
成績上位者にならなければいけないので，出場するだけでは不十分です．
よって，全国大会に出場するためには，県大会で出場することは「必要ではあるが，十分ではない」となります．
「（答1）と（答2）は同じではないか！」とお叱りを受けるかもしれませんが，同じことを説明したので，同じなのは当たり前です．
ただ，日本語のみで考える（答1）は結構混乱しやすいです．
矢印を補助にする（答2）の方が分かりやすく感じる人も多いと思います．
視覚化は大事．
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（例題12）三角形ABCについて，三角形ABCが正三角形であることは，AB=ACが成り立つための必要条件ですか？十分条件ですか？
［あえて語順を逆にしてみましたが，気にせずそのまま考えて下さい］
（答1）正三角形ならばAB＝AC=BCが成り立つので，当然AB=ACは成り立ちます．
つまり，AB=ACが成り立つためには，正三角形であれば十分です（十分すぎます）．
AB=ACが成り立つためには，正三角形である必要はありません．
したがって正三角形であることは，AB=ACが成り立つための十分条件ではあるが，必要条件ではない．
（答2）矢印を使えば，「三角形ABCが正三角形」⇒「AB＝AC」が成り立ちます．
逆に「AB＝AC」⇒「三角形ABCは正三角形」は成り立たない．
これを補助にして，（例題11）と同じように言い換えると，結局は（答1）と同じ説明になります．
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（例題13）三角形ABCについて，三角形ABCが正三角形であるためには，AB=ACであることは必要条件ですか？十分条件ですか？
［（例題12）と混乱しそうなら，（例題12）は忘れて下さい］
（答1）AB = ACでなかったら，その時点で正三角形である可能性は消えてしまいます．つまり，正三角形であるためにはAB=ACは成り立っていないといけません．AB=ACであることは必要です．
でも，AB=ACだけでは，十分ではありません．AB=AC=3，BC=4なら正三角形ではないので．
よって，三角形ABCが正三角形であるためには，AB = ACであることは「必要条件ではあるが十分条件ではない」
（答2）矢印を使うと，「三角形ABCが正三角形」 ⇒「 AB ＝AC」は正しい．
逆に「AB＝AC」⇒「三角形ABCは正三角形」は誤り．
これを補助にして，（例題11）と同じように言い換えていくと，結局は（答1）と同じ説明になります．
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（例題12）と（例題13）は（答2）が全く同じ説明になっています（コピペしました笑）．これらをまとめると次のようになります．
「三角形ABCが正三角形」⇒ 「AB ＝ACが成り立つ」
ということを言い換えていくと
「AB=ACが成り立つためには，三角形ABCが正三角形であることは十分である」
「三角形ABCが正三角形であるためには，AB=ACが成り立つことは必要である」
の2つの事実が得られます．当り前じゃない？
当たり前だと思えたら，覚えたければ覚えても構いません．
すなわち，一般化すると
「 A ⇒ B 」が正しい主張のとき，
AであることはBであるための十分条件であり，
BであることはAであるための必要条件である．
となります．一般化した結果だけをみると，分かりにくく感じる人も多いと思います．イマイチ分からないという人は，（例題1）～（例題9）で同じ練習をしてみましょう．
大切なこと（磨くべきスキル）はむしろ，条件を正しく言い換える技術です．
すでにお気づきの方も多いと思いますが，随所で対偶を利用しています．
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4．対偶と逆
（準備3）「Aならば必ずB」の対偶は「Bでないなら，決してAではない」
（例3）小麦アレルギーの人にとって
「食べられるものは，小麦の含まれていないものである」
「小麦の含まれているものは，食べられない」
この2つは対偶です．言っている意味は同じ．
（例4）「6で割り切れる整数は，必ず2で割り切れる」の対偶は
「2で割り切れない整数は，決して6で割り切れない」
言っている意味は同じ．これは（例題7）で用いました．
（準備4）「Aならば必ずB」の逆は「Bならば必ずA」
必要条件か？十分条件か？を考えるときに
「A⇒B」「B⇒A」のどちらが成り立つかを考えている場面があります．
（例題11）～（例題13）のそれぞれ（答2）は明示的です．
（例題13）までは，一方の矢印しか成り立たない例ばかりでしたが，そういうケースだけとは限りません．
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（例題14）三角形ABCについて，
∠A=90°であることは，AB×AB＋AC×AC＝BC×BC であるための必要条件ですか？十分条件ですか？
（答）以下では，AB×AB を AB^2 と書きます（ABの2乗）．
（ウ）「∠A＝90°」⇒ 「AB^2 + AC^2 = BC^2 」は正しい（三平方の定理）
証明は中学校の教科書を参照のこと．
（エ）「AB^2 + AC^2 =BC^2 」⇒ 「∠A=90°」も正しい．
（きちんと証明したことはないかもしれませんが，中学校で使っていましたよね？？これを利用して，AB=3，AC=4，BC=5なら3^2+4^2=5^2だから∠A=90° と結論付けていたはず．ちゃんとした証明を考えることは，（ウ）と（エ）の違いを理解するうえで有益ですが，ここでは省略．）
で，（ウ）と（エ）が成り立つので，
「∠A = 90°」と「AB^2+AC^2=BC^2」は
お互いが他方にとっての必要条件でもあり，十分条件にもなっています．
つまり，必要十分条件です．
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これの何が有難いか？ そこにはいろいろな意味があります．
例えば，∠A=90° という角度の情報と，AB^2+AC^2=BC^2 という辺の長さの情報を過不足なく言い換えることが出来る．これは画期的なことです．
小学生まででは，せいぜい二等辺三角形くらいしか角と長さの情報を結びつけることはできませんでした．そして，2辺が等しいことと2角が等しいことは図形の対称性からほとんど明らかで，あまり有難みがない（とか言ったら怒られるかもですが）．
一方，∠A=90° と AB^2 ＋ AC^2 = BC^2 って，「見ればわかるでしょ」ってほど自明でないと思うのです．
ある命題が真で，その逆も真だと，素晴らしい言い換えが得られる．
これが「逆が真か」を考える一つの理由です．
例えば，方べきの定理，チェバの定理，メネラウスの定理なども逆が成り立ちます．2021年度大学入学共通テスト数学IA第5問の最後は，方べきの定理の逆を使うと解決しやすかったです．
あれ，必要十分はどこに？［つまり，ちょっと別の話ってことです］
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5．ガチで難しい問題
以下は，必要なのか，十分なのかの判定が難しい例を挙げます．
間違えても，悲観には及びません．
（例題15）は大学入試ではよくあるものですが，それ以外は読み飛ばしても構いません．
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（例題15）実数x，yについて，x，yがともに整数であるためには，x+y，xyがともに整数であることは必要条件ですか？十分条件ですか？
（答）［必要条件かの検証：こちらは易しい(?)］
x，yがともに整数ならば，x+y，xyはともに整数です．
つまり，x+y，xyの少なくとも一方が整数でなかったら，その時点でx，yが整数である可能性は消えていしまいます．
したがって，x+y，xyがともに整数でないとx，yがともに整数であるとは言えません．x+y，xyがともに整数であることは，x，yがともに整数であるための必要条件です．
［十分条件かの検証：言われれば簡単だけれど］
x+y，xyが整数だからと言って，x，yがともに整数とは限りません．
例えば，x+y=4，xy=1だと，x，yの一方が2+√3，他方が2-√3 です．（このような例の発見がやや難しい）
よって，x，yが整数だというためには，x+y，xyが整数と分かるだけでは不十分です．
以上より，x，yがともに整数であるためには，x+y，xyがともに整数であることは必要条件ではあるが十分条件ではない．
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（例題16）2，3，5，7，11，・・・のように，1と自分自身以外で割り切れない2以上の整数を素数と言います．
そして，2^2-1=4-1=3，2^3-1=8-1=7，2^5-1=32-1=31，2^7-1=128-1=127
のように，n=2,3,5,7のとき，(2^n) -1は素数です．
では，(2^n) -1が素数であるためには，nが素数であるための十分条件ですか？
（答）(2^11) -1 =2048-1=2047=23×89 という例がある．（このような例の発見が難しい）
つまり，nが素数というだけでは，(2^n)-1が素数とは言い切れない．
よって，十分条件ではない．
ちなみに，(2^n)-1が素数であるためには，nが素数であることは必要です．
（これは大学入試では出題されたことのある内容）
詳しくは，メルセンヌ素数 でググってください．
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（例17）三角形ABCにおいて，∠Bの二等分線とACの交点をD，
∠Cの二等分線とABの交点をEとします．
BD = CEであるためには，AB = ACであることは十分条件ですか？必要条件ですか？
（答）AB ＝ ACならば，図形が対称になるのでBD = CEであることは自然に理解できると思います．興味のある人はキチンと証明を．
さて，モンダイはBD = CE のためには AB = ACでなければいけないでしょうか？
答えはYESなのですが，この証明が大変難しい．興味のある人は「シュタイナー・レームスの定理」でググってください．
いずれにせよ，（例題17）の答は
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（例題18）三角形ABCにおいて，∠Bの二等分線とACの交点をD，
∠Cの二等分線とABの交点をEとします．さらにBDとCEの交点をIとします．
ID = IEであるためには，AB = ACであることは十分条件ですか？必要条件ですか？
（答）（例題17）と同じく，AB = ACならば図形の対称性からID ＝ IEであることは自然に納得がいくと思います．
一方，ID=IEであるためにはAB = ACであることが必要か？
結論は「必要ではない」となります．
実際，なんと ∠A＝60° のときは，AB≠ACでもID＝IEとなります！！
よって，（例題18）の答はは
ID＝IEであるためには，AB=ACは「十分条件であるが必要条件ではない」となります．
しかし，∠A=60°でID ＝ IEとなるかの確認は易しいでしょうか？
そもそも，どうやって∠A=60°って分かったのでしょうか？
ねぇ～．1956年に東工大で入試問題として出ていますけれど．
この問題の素晴らしい解説は
テレンス・タオ著 寺嶋英志訳
『数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方』，青土社(2010) P.100～105
に任せることにします．（三角形ADIと三角形AEIに正弦定理を用いることで解決しますが，そこに至るまでの発想が述べられています）
数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方 | テレンス・タオ, 寺嶋英志 |本 | 通販 | Amazon
いすれにせよ，必要条件，十分条件の問題で難しい部分は
「命題の真偽の判定」にあります．
正しいことをきちんと証明したり，巧妙な例外を探したり．
ここは本質的に難しいところで，逃れることはできません．
頑張りましょう．
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6 定義だから暗記なのか？
「定義は暗記」は正しいです．
必要条件，十分条件でなく「赤条件，青条件」だったら
私も「青 ⇒ 赤」って丸暗記すると思います．
でも，今までの記述で，
必要条件ってそのまま必要な条件ってことだし，
十分条件って十分な条件ってことだ
と理解して頂けるのではないでしょうか．
だから，必要条件，十分条件について声高に
「定義だから意味を考えずに丸暗記せよ」
というのは，違和感があります．
この部分は，個人の感想の域を出ませんが．
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7 この記事で言いたかったこと（矢印は害なのか？）
長い記事になりましたが，要点は ２ 必要条件と十分条件 で言い尽くされています．そして，これさえ理解していれば，必要条件と十分条件を混同することはないはずです．それをひたすら例題18まで貫きました．
例題13の後に一般化した「十分 ⇒ 必要」は難しいものですが，それを無理に暗記することはないのです．
取りあえずの暗記で一時しのぎをすることは，一時しのぎにはなっても，理解を遠ざけることになりかねません．そして，この分野は必要・十分という日常用語だからこそ，理解していないときに「あなたは理解していないでしょ」って学習者に突きつけます．それが学習者の恐怖になって，ますます嫌いになり，苦手になり得るのです．だったら，矢印をやめて，そのまま捉えれば大丈夫．それで練習してくと，途中から「まどろっこしいなぁ」と感じてくると思います．そこまできたら，少しずつ矢印に馴染んでいけばよいです．3 必要条件，十分条件と矢印 で述べたように，矢印を使って状況を整理することを否定するつもりは全くありません．本稿ではあえて，矢印を使わないことを徹底しましたが，ゆえに分かりにくくなっているところもあります．「分かりづらいよ！」って思ったら，是非，ご自身の手で矢印を使って整理して下さい．理解している人なら，矢印を自由自在に操れるはずです．どうぞ，ご自由にお使いください．
私も状況が複雑な時に，整理するために矢印を使うことは多々あります．この記事では触れませんでしたが，集合の包含関係を使うのももちろん有効です．使えるものは何でも使いましょう！
さて，長くなりすぎたので，この辺りで筆をおきます．
もっとこういうところが聞きたかったとか，こういう説明が欲しいとか，
こういう例題が欲しいとかのご要望があれば，twitterの
@tactn001 までリプなどでお寄せ下さい．
お読みいただく人にとって，読みやすいことが大切ですので．
ただし，おそらくご要望のすべてにはお応えできかねることは，予めご了承ください．
とぞ本に．
