2018年度防衛医科大学校 択一式（2017年10月28日実施分）
英数国で90分です．
受験生への取材を素に再現したもので，元の問題と内容，
表現に差異がある可能性がありますがご容赦ください．
1 $ x,\ y,\ z $は正の整数で
$ (2xy+4x+y+2)(\sqrt2+\sqrt3)^2=z+24 \sqrt6 $
を満たす．$ x+y+z $の値を求めよ．
(答) 63
2 $ f_1(x)=1+\dfrac1x,\ f_2(x)=1+\dfrac1{f_1(x)}, f_3(x)=1+\dfrac1{f_2(x)},\ \cdots $
とするとき，$ f_6(x)\leqq 1.624 $を満たす自然数$ x $の個数を求めよ．
(答) 15
3 三角形ABCにおいて，AB $=2a $，BC $=\sqrt3 a $，CA $=6$であり，
$ \angle \text{A}$が最大となるとき，$ a $の値を求めよ．
(答) 6
4 円周上に等間隔に12個の点をとり，
それらに1から12までの番号を付ける．
これら12個の点から異なる3個を選んで，それらを
頂点とする三角形を作るとき，
二等辺三角形になる場合の数を求めよ．
(答) 52
5 2つの袋AとBがあり，Aには白球が2個，赤球が4個入っている．
また袋Bには白球が3個，赤球が3個入っている．
2つの袋から無作為に一方の袋を選び，
選んだ袋から無作為に1個の球を取り出す．
取り出した球が白球であったとき，
選んだ袋がAであった確率を求めよ．
(答) $ \dfrac25 $
6 $ 3^{a+1}-2^{b+1}=7,\ 3^a\cdot 2^b=24 $のとき，$ a $の値を求めよ．
(答) $ 4\log_3 2-1 $
7 $ k $を正の定数とする．
$ f(x)=2 x^3-9k x^2 +12k^2 x+ 1 $とする．
$ f(x)$は$ x=a $で極大，$ x=b $で極小となり，
$ f(a)-f(b)=27 $を満たすとする．
このとき，$ b-a $の値を求めよ．
(答) 3
8 $ k $を0でない実数の定数とし，
$ f(x)=\displaystyle \int_0^1 |a-kx|\ da $とする．
$ f(x)$が最小になるときの$ x $の値を求めよ．
(答) $ \dfrac1{2k}$
9 $ \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=n^2-2n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) $
が成り立つとき
$ a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{31}$
を求めよ．
(答) 464
10 $ xyz $空間内に3点
A($ ?,\ ?,\ ? $)，B($ ?,\ ?,\ ? $)，C($ ?,\ ?,\ ? $)
がある．
さらに四角形ABCDが平行四辺形となるように点Dを定めるとき，
平行四辺形ABCDの面積を求めよ．
$ \overrightarrow{\text{AB}}=(10,\ 10,\ -5),\ \overrightarrow{\text{AC}}=(3,\ 5,\ -4)$になる．
(答) $ 25\sqrt2 $
11 $ z=1-\sqrt3 i $とする．
$ z^n $が実数となる最小の自然数$ n $を求めよ．
(答) 3
※ 解答として，「(5) 上の4つはどれも正しくない．」を選ぶ問題．
12 実数$ x,\ y $が$ \dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{4}=1 $を満たしながら
変化するとき，$ 2x+y $の最大値を求めよ．
(答) $ 2\sqrt{14}$
13 $ a $を実数の定数とする．
極限
$$\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+a}-3}{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}} $$
が有限確定値に収束するとき，
その極限値を求めよ．
(答) $ \dfrac1{\sqrt3}$
14 $ f(x)=e^x \cos 2x $とする．
実数の定数$ a,\ b $が
$ f''(x)=ae^x \sin (2x+b) $
を満たすとき，$ a\sin b $の値を求めよ．
(答) $ -3 $
15 定積分
$$ \int_0^{\frac{\pi}2} (\cos x\sin^3 x-\cos^3 x\sin^3 x+\cos x \sin^7 x)\ dx $$
を計算せよ．
(答) $ \dfrac7{24}$
（更新履歴）
2017/10/31 00:06 第10問の情報を追加
2017/10/31 21:15 ほぼ判明したので，更新終わり
2017入試問題のメモ９（関西の私立大学）
問題は↓
過去問題へのリンク（関西地方） - tactn001のブログ
データの分析を出している大学が多い印象
（いくつかのデータを与えて，平均，分散，四分位範囲を求めるなど．相関係数はボリュームの関係からか少ない）
前期B 2/5
1(3) SCIENCEでCが隣り合わず，Eも隣合わない順列の個数
2 円に原点から引いた接線と円で囲まれる図形の面積
4 $ S_{n+1}-2S_n=3^n $から$ a_n $
後期3/11
4 正三角形の内部で垂線を次々に下ろす話
2 チェバの定理の証明（ノーヒント）
3 6×6の最短経路で通れないところが沢山ある問題
1/25 $ y=\sin x,\ y=\sin (x-a)$と$ x $軸とで囲まれた図形の面積の極限
1/29
1(2) 連続した3個の奇数の平方の和に1を加えた数が12で割り切れ24で割り切れないことの証明
(3) 男子3人，女子4人で男子が隣り合わない円順列
1/30
1(1) $ x+y+z=6,\ xy+yz+zx=8 $で$ x^3+y^3+z^3-3xyz $
(3) BC $=6 $，CA $=5 $，AB $=7 $，∠Aの二等分線ADの長さ
3 ヒポクラテスの定理
1/31
2 ガウス記号のいろいろ
3 $ y=x^4-6x^2+8x $と原点における接線で囲まれる図形の面積
4 ややボリュームのある図形問題（旧課程のセンター的）
例年1問は難しい問題が出ていたが，今年はすべて標準的．ただし，時間に対してボリュームが非常に多い．
2/4 理系全学部 2 斜軸回転 4 $ c_{n+2}=\dfrac{c_{n+1}(c_{n+1}+1)}{c_n}$ やや難
2/5 文系1(2) 正$ n $角形の頂点結んで鈍角三角形ができる確率など 同15お茶大他
2/6 文経済 1 $ \text{PL}^2+\text{PM}^2+\text{PN}^2 $ 17早大商と同じネタ 3 面倒な絶対値積分
2/7 理系 1(1) $ \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}2} |\sin x-\lambda \cos x\ |\ dx $の最小値 （頻出）
2/7 文系1(1) $ n $個のデータの分析
2/8 1(1)円順列 2 $ 324 \mid n^3-n $となる条件 3 $ y=| x^2-1 | $と接線で囲む面積
2/9 文系 三角形ABCの内心Iで$ \dfrac{\text{AI}}{\text{AP}}\cdot \dfrac{\text{BI}}{\text{BQ}} \cdot \dfrac{\text{CI}}{\text{CR}}$の最大値 やや難
2/10 1(1) $ \dfrac{d^n }{dx^n} (e^x \cos x) $ 3 回転放物面と球 やや難
4 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_0^{\frac{\pi}4} (\cos^2 nx-\cos^4 nx)\ \log \left(1+\dfrac{4}{\pi} x\right)\ dx $ やや難
薬1/26 2(1) $ 2(1+i)x^2-(3-i)x+1-i=0 $の実数解 類17工学院大
2/1 全学文系 2 複利計算
2/2 薬 1(3) 3，4，5の三角形でI，O，Hを頂点とする三角形の面積
2/2 全学理系 1 $ \beta $関数
2/2 全学文系 三角形ABCの辺上にP，Q，R $ \triangle \text{PQR}=\dfrac14 \triangle \text{ABC}$となる条件
2/3 全学理系 4 カタラン数（経路）
2/3 全学文系 2 複利計算
2/4 全学文系 3 面倒なトーナメントの確率
2/7 学部個別理系 1 3次方程式の判別式 3 円の列で$ \dfrac1{\sqrt{r_n}}$がフィボナッチ
2/8 センター併用 2 複素数と確率 4 $ \sin x $の逆関数の積分
3/7 薬後期 2 $ |x^2-x-6|=ax+b $の実数解の個数
1/30 4 $ e^{2x}-5e^x+2x+7=a $の実数解の個数
前期 5 本格的な複素数平面の良問
後期 2 ヤングの不等式の類 4 球の分割 5 図形 全体として難しい
前期 3 $ f(x)=x^3-9x^2+24x-16 $の$ x\leqq a $における最大値が極大値と一致する$ a $の範囲
中期2(3) 座標 折れ線最短 3 $ y=x^2 $と法線で囲まれる面積の最小（頻出）
1/26 1(3) 中項定理 (4) $ 8x^2-4x-1=0 $の解を$ \cos \alpha ,\ \cos\beta $として，$ \sin \alpha \sin \beta $の値
他にもチョイチョイ捻りがあって，侮れないセット
前期 1(4) 期待値（出題範囲内）
2 $ x^2+y^2=25 $に内接する格子点三角形の個数 やや面倒
1/19 3 7個のリンゴを3人に分ける重複組み合わせ 4データの分析
1/20 2 立方体を4色で塗り分け
2/4 4 $ 66x+53y=1 $の整数解
1/31 1(2)中項定理 4 3次関数の極大点と極小点の中点が曲線上にあることの証明
大阪物療大学 90分のセットとしては充実しすぎてとても大変かと
1(8) $ x(x+2)(x+3)(x+5)+8 $の因数分解
2(3) $ x^2-3ax+a=0 $の2解が$ \sin\theta,\ \cos\theta $
3 棒に錘をつるす問題．重心が絡み途中から確率分布（誘導はあるので範囲内で解ける）
4 球に内接する円錐の体積の最大値
5 円と直線に接しながら動く円の中心の軌跡
A 1(2) $ \sqrt{4n^2+29}$が整数となる$ n $
2/1 文系 1 3次方程式の解と係数の関係（導出あり）3 $ \dfrac16 $公式の導出
2/1 総合情報 3 空間内の正八面体の3つの頂点が与えられて残りを特定
2/2 2 内分点を次々にとって座標の漸化式 3 $ \sum \sin \dfrac{k\pi}n $の周辺
2/4 文系 1 $ a_{n+1}=3a_n+n^2+2n $ 2 円束（根軸）
2/5 総合情報 2 三角形の重心を通る直線で三角形を分割
2/5 理系 4(1) KAISERSの順列 (体育会部の名前）
2/6 文系 KANNSAIの順列
2/7 理系 1 パラメタ曲線 2 二項定理（帰納法）
2/7 文系 2 外心の位置ベクトル 類 17慶應理工
2/8 文系 $y=x^3+3x^2-9x+6 $に点$ (0,\ p)$から3本の接線
前期 1(2) $ \varphi (2017) $ 2017が素数であるという但し書きなし
2 確率漸化式
3，4も重たい
後期 3 確率の大小比較 4 円柱の一部の体積（難）
医 1/22 1 立方体の塗り分け 同 16順天堂大 難問 3 円に内接する四角形の面積の最大値 類16北里大・医
理系 1/28 1(3) ベルヌーイシフト写像 3 扱いにくい初等幾何
2/11 理工3 $ C:y=(x-2)^2+3 $と$ l: y=\dfrac{x+7}2 $で囲む図形を$ l $の周りに回転
3/8 理系1(2) 循環小数の難問
3/8 医 二等辺三角形で$ \cos A+\cos B+\cos C,\ \dfrac{r}{R}$の最大値
1/23 理工，薬1(3) 桁数，最高位の数字
(4) 空間内で正四面体の3頂点が与えられて，もう一つを特定
1期A 4 2つの円の割線（17IMO 第4問の入り口になる問題）
2/1 理系 1(2)4人じゃんけん
2/1 文系 2(1) 整式の割り算（余り）
2/4 文系 2(2) $ a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2a_n+4} $ 3 $ \displaystyle \int_{a}^{a+1} |x^3 -4x|\ dx $
2/5 理工2 円束
2/1 2 さいころ$ n $回投げて3の倍数が奇数回でる確率
5 四面体で体積比 類98静岡大
1/30 1(2) $ 2x+3y=60 $の整数解について
3 $ \sin\theta+\cos\theta=\dfrac12 $から$ \tan\theta-\dfrac1{\tan\theta}$など
6 正八面体の体積
前期 6 検査の精度
中期 2 $ a^2-b^2 =p $のとき，$ a,\ b $を$ p $で表す 4 細胞分裂の漸化式
7 $ \text{gcd} (2^{100}-1,\ 2^{20}-1) $
A 4 三角形の各辺を1:2に内分
B 2 円に内接する四角形，対角線のなす角の正弦
2 回転放物面の表面積（難）
1/24 2(4) 星の明るさ（等級）常用対数
3(1)球の表面積や体積の増加率（微分係数）
2017入試問題のメモ8（関西地方の国公立大学）
問題は↓（国公立は公開している大学が少ないですが）
過去問題へのリンク（関西地方） - tactn001のブログ
（国立大学）
滋賀大学
1（教経）3次方程式が有理数解を持つ条件．やや難しい整数問題
4（デ）回文数の性質（$ n+1 \mid n^3+1 $を用いる）
5（デ）二項分布，正規分布
滋賀医科大学
例年通り，4題とも味わい深く，そして難しい．入試問題というより，長期休暇の自由研究向け．
1 楕円と折れ線の共有点の個数．y方向に2倍して図形的に判断してもよい
2 速度ベクトル．(3)でコーシーの平均値の定理が登場する
3 $ \cos n\theta $について自力で漸化式を作る
4 さいころ．1が続けて出る確率と，同じ目が続けて出る確率について
理系
1 ジューコフスキ変換 2 四面体の切り口
3 $ \tan (\alpha+2\beta)=2 $，整数
4 三角形の内接円の半径のとりうる値の範囲（受験生の出来悪い）
5 面積
6 各桁1～5で$ n $桁の数が3で割り切れる確率．同17海洋大
文系
1 3次関数と接線．細かいところでちょっと難しい．
2 桁数と整数．難問かつ良問
5 さいころで出た目の最大値，最小値
前期
2 $ y=-\log (\sin x)$の弧の長さ 類17岡山県立大
4 単調数列に関するチェビシェフ不等式 発展バージョンは17熊本大，10東北大（後）
後期
3 図形的に考えるとあっけなく終わる複素数
4 やや扱いにくい確率
理系
1 双曲線
2 コインを5回投げて確率，複素平面（正五角形）
3 ディオファントス近似．かなり難しい
5 回転放物面と円柱の共通部分の体積
文系
1 面積 2 文字消去して最大・最小 3 $ a_{n+1}=8 (a_n)^2 $
前期
1 $ \{a_n\}$が等差数列 $ \iff $ $ \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} a_k $が等差数列 の証明
3 ブラマグプタの定理の証明
後期
1 独立性に気を付ける確率
前期
理系
1 三角関数の極限．標準的な良問
3 四面体から無限等比級数
4 確率とベクトルの融合．状況をうまくつかまないと苦しい
5 トロコイドが結節点を持つ条件．難問．
文系
1，2 微積 3 は理系とほぼ共通の確率
後期
かなり作業量が多いうえに，4，5は内容も難しい．
数学的には興味深い素材が多く，自由研究向け．
１2次関数 ２ 場合の数 ３命題（座標を使って考える．意外と重量級）
前期
1（理）座標，格子点．難しくはないが答が沢山あって大変
3（理） ジューコフスキ変換＋回転
6（生） データの分析 $ y_i=a x_i +b $の変換 類17 成城大・経済
後期
1 $ a_{n+1}=3a_n+4n $ ヒント付
3 各位が1 or 2である$ n $桁の数の中に$ 2^n $で割り切れるものが存在することの証明．良問
1 $ \sqrt[3]{\sqrt5+2} -\sqrt[3]{\sqrt5-2}$が整数であることの証明．類17藤田保健衛生大・医
5 斜め楕円の回転
6 サイクロイドのいろいろ．計算量多い．
（公立大学）
前期 1 $ \log_{a} \sqrt{ab} $と$ \log_{\sqrt{ab}} b $の大小比較など
後期1 (3) 等角らせんの長さ 2 $ \sum \dfrac{1}{\sqrt{k}} $の評価 3 円，位置ベクトル
1 $ \cos \dfrac{2n}{17} \pi $のいろいろ．正17角形の作図可能性がネタにあるが，ボリューム満点で自由研究用素材といったところ
2 正三角形に内接する円の列の無限等比級数．頻出かつ品の良い問題
4 複雑な関数方程式．方向性を誤ると巨大迷路
6 円と放物線が「外接」する条件．面積
1 正20面体のいろいろ．状況の把握が困難で計算も膨大．
4 ロジスティック写像 (5) $ \epsilon - \delta $が必要と思われ，一般的な受験生には酷
前期
理系 1 円柱斜め切り．表面積を求めるところは難問
2 三角形の頂点上の移動．4 座標で与えられた三角形の面積の最大．やや難しい
文系 1 座標平面上のランダムウォーク．類17東大
後期
1 素数定理的な関数の評価
2 $ \cos \dfrac25 \pi $から正五角形の面積
3，4 縮小写像
5 楕円の正射影
前期 3，4 ニュートン法
中期
3 三角関数と領域（面倒）
4 サイコロ$ n $回 目の積が3で割り切れる確率
5 計算の膨大な微積
前期 工学部 4 不等式で表された領域の体積
前期 経 1(1) $ n^2-40n+319 $が素数になる条件 3 実数係数の3次方程式が共役解と実数解を持つことの証明
中期理 1 4辺が2，3，3，4円に内接する四角形 5 さいころと無限級数 類90東大
後期経済 1(1) $ y=x^3,\ y=\dfrac{1}{x} $を定義にしたがって微分
2正多面体の展開図（難）
3 正五角形の面積 類17大阪市立大学
4 三角形の面積をニ等分する線分の長さについて（やや難）
前期 90分15問から6問に変化．ただし，易しくなったとは言い難い
3 無限級数の難問 4 斜軸回転の体積 類17順天堂・医，17産業医大
後期
1 畳み込みの微分方程式 2 $ Z(\sqrt{2})$の単元
3 円分方程式（知らなければ困難）4 思考力を要する数列
3 2次方程式が整数解を持つ条件．何となく，17東北大，17滋賀大に似ている
