2018年度防衛医科大学校 記述式(2017年10月29日実施分)
※ 受験生からの情報を元に再現したもので,実際の問題と
内容,表現に差異がある可能性もあります.
※ 情報を頂いた受験生に厚く御礼申し上げます.
1 次の各問いに答えよ.
(1) $ a $を実数の定数とする.$ x^2+ |2x-a|-a>0 $がすべての実数$ x $で
成立するための$ a $の条件を求めよ.
(答) $ a<0 $
(2) 半径2の円に内接する正10角形の1辺の長さを求めよ.
(答) $ \sqrt5-1 $
(3) $ a,\ b,\ n $を正の整数とする.
$ X=2^a\cdot 3^b $とし,$ X $と$ 5400 $の最小公倍数が16200,
$ X^n $の正の約数の個数が221個であるとする.
このとき,$ a+b+n $の値を求めよ.
(答) 11
(4) 円$ x^2+y^2=1 $上に2点P,Qがあり,常にPQ $=\sqrt2 $を満たしながら
動いている.R($ 2,\ 3 $)として,
内積$ \overrightarrow{\text{RP}}\cdot \overrightarrow{\text{RQ}}$の最小値を求めよ.
(答) $ 13-\sqrt{26}$
2 $ a $を正の定数とする.
点Oを原点とする$ xyz $空間において,
球$ x^2+y^2+z^2-4ax-2y+az-16a-4=0 $と
2点A(1,3,2),B($ -2,\ 1,\ 2 $)を考える.
(1) O,A,Bがすべて球面の内部にあるための$ a $の条件を求めよ.
(答) $ a>\dfrac12 $
(2) 辺AB上の点が1つだけ球面上にあるための$ a $の条件を求めよ.
ただし,点Oは球の内部にあるとする.
(答) $ \dfrac29 < a\leqq \dfrac12,\ a=\dfrac{-25+7\sqrt{13}}{12}$
3 $ p $を$ 0 < p < 1 $を満たす定数とする.1回投げたときに
確率$ p $で表が出て,確率$ 1-p $で裏が出るコインがある.
このコインを投げ続けるとき,表が初めて出るまでに裏がちょうど$ k $回出る
確率を$ P_1 (k)$とする.
また,表が2回出るまでに裏がちょうど$ k $回出る確率を$ P_2 (k)$とする.
次の各問いに答えよ.
ただし,$ 0 < x < 1 $を満たす定数$ x $について,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nx^n=0,\ \lim_{n \to \infty} n^2 x^n=0 $
が成り立つことを証明せずに用いてよい.
(1) $ P_1(k),\ P_2(k)$を$ p,\ k $で表せ.
(答) $ P_1 (k)=(1-p)^k p,\ P_2(k)=(k+1)(1-p)^k p^2 $
(2) $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n k P_1(k) $を求めよ.
(答) $ \dfrac1p-1 $
(3) $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n k P_2(k) $を求めよ.
(答) $ \dfrac2p-2 $
(更新履歴)
2017/10/29 22:15
2(3)「ただ1つ」
3 リード文 $ P_2 (k)$について「表$ k $回」→ 「裏$ k $回」
2017/10/31 00:02
1(1) 2(2)の問題文の情報を更新.
2017/10/31 21:15 2(2)を確定.
2017/11/08 22:55 1(1)を確定.問題がほぼ判明したので,更新終了.
2018年度防衛医科大学校 択一式(2017年10月28日実施分)
英数国で90分です.
受験生への取材を素に再現したもので,元の問題と内容,
表現に差異がある可能性がありますがご容赦ください.
1 $ x,\ y,\ z $は正の整数で
$ (2xy+4x+y+2)(\sqrt2+\sqrt3)^2=z+24 \sqrt6 $
を満たす.$ x+y+z $の値を求めよ.
(答) 63
2 $ f_1(x)=1+\dfrac1x,\ f_2(x)=1+\dfrac1{f_1(x)}, f_3(x)=1+\dfrac1{f_2(x)},\ \cdots $
とするとき,$ f_6(x)\leqq 1.624 $を満たす自然数$ x $の個数を求めよ.
(答) 15
3 三角形ABCにおいて,AB $=2a $,BC $=\sqrt3 a $,CA $=6$であり,
$ \angle \text{A}$が最大となるとき,$ a $の値を求めよ.
(答) 6
4 円周上に等間隔に12個の点をとり,
それらに1から12までの番号を付ける.
これら12個の点から異なる3個を選んで,それらを
頂点とする三角形を作るとき,
二等辺三角形になる場合の数を求めよ.
(答) 52
5 2つの袋AとBがあり,Aには白球が2個,赤球が4個入っている.
また袋Bには白球が3個,赤球が3個入っている.
2つの袋から無作為に一方の袋を選び,
選んだ袋から無作為に1個の球を取り出す.
取り出した球が白球であったとき,
選んだ袋がAであった確率を求めよ.
(答) $ \dfrac25 $
6 $ 3^{a+1}-2^{b+1}=7,\ 3^a\cdot 2^b=24 $のとき,$ a $の値を求めよ.
(答) $ 4\log_3 2-1 $
7 $ k $を正の定数とする.
$ f(x)=2 x^3-9k x^2 +12k^2 x+ 1 $とする.
$ f(x)$は$ x=a $で極大,$ x=b $で極小となり,
$ f(a)-f(b)=27 $を満たすとする.
このとき,$ b-a $の値を求めよ.
(答) 3
8 $ k $を0でない実数の定数とし,
$ f(x)=\displaystyle \int_0^1 |a-kx|\ da $とする.
$ f(x)$が最小になるときの$ x $の値を求めよ.
(答) $ \dfrac1{2k}$
9 $ \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=n^2-2n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) $
が成り立つとき
$ a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{31}$
を求めよ.
(答) 464
10 $ xyz $空間内に3点
A($ ?,\ ?,\ ? $),B($ ?,\ ?,\ ? $),C($ ?,\ ?,\ ? $)
がある.
さらに四角形ABCDが平行四辺形となるように点Dを定めるとき,
平行四辺形ABCDの面積を求めよ.
$ \overrightarrow{\text{AB}}=(10,\ 10,\ -5),\ \overrightarrow{\text{AC}}=(3,\ 5,\ -4)$になる.
(答) $ 25\sqrt2 $
11 $ z=1-\sqrt3 i $とする.
$ z^n $が実数となる最小の自然数$ n $を求めよ.
(答) 3
※ 解答として,「(5) 上の4つはどれも正しくない.」を選ぶ問題.
12 実数$ x,\ y $が$ \dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{4}=1 $を満たしながら
変化するとき,$ 2x+y $の最大値を求めよ.
(答) $ 2\sqrt{14}$
13 $ a $を実数の定数とする.
極限
$$\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+a}-3}{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}} $$
が有限確定値に収束するとき,
その極限値を求めよ.
(答) $ \dfrac1{\sqrt3}$
14 $ f(x)=e^x \cos 2x $とする.
実数の定数$ a,\ b $が
$ f''(x)=ae^x \sin (2x+b) $
を満たすとき,$ a\sin b $の値を求めよ.
(答) $ -3 $
15 定積分
$$ \int_0^{\frac{\pi}2} (\cos x\sin^3 x-\cos^3 x\sin^3 x+\cos x \sin^7 x)\ dx $$
を計算せよ.
(答) $ \dfrac7{24}$
(更新履歴)
2017/10/31 00:06 第10問の情報を追加
2017/10/31 21:15 ほぼ判明したので,更新終わり
2017入試問題のメモ9(関西の私立大学)
問題は↓
過去問題へのリンク(関西地方) - tactn001のブログ
データの分析を出している大学が多い印象
(いくつかのデータを与えて,平均,分散,四分位範囲を求めるなど.相関係数はボリュームの関係からか少ない)
前期B 2/5
1(3) SCIENCEでCが隣り合わず,Eも隣合わない順列の個数
2 円に原点から引いた接線と円で囲まれる図形の面積
4 $ S_{n+1}-2S_n=3^n $から$ a_n $
後期3/11
4 正三角形の内部で垂線を次々に下ろす話
2 チェバの定理の証明(ノーヒント)
3 6×6の最短経路で通れないところが沢山ある問題
1/25 $ y=\sin x,\ y=\sin (x-a)$と$ x $軸とで囲まれた図形の面積の極限
1/29
1(2) 連続した3個の奇数の平方の和に1を加えた数が12で割り切れ24で割り切れないことの証明
(3) 男子3人,女子4人で男子が隣り合わない円順列
1/30
1(1) $ x+y+z=6,\ xy+yz+zx=8 $で$ x^3+y^3+z^3-3xyz $
(3) BC $=6 $,CA $=5 $,AB $=7 $,∠Aの二等分線ADの長さ
3 ヒポクラテスの定理
1/31
2 ガウス記号のいろいろ
3 $ y=x^4-6x^2+8x $と原点における接線で囲まれる図形の面積
4 ややボリュームのある図形問題(旧課程のセンター的)
例年1問は難しい問題が出ていたが,今年はすべて標準的.ただし,時間に対してボリュームが非常に多い.
2/4 理系全学部 2 斜軸回転 4 $ c_{n+2}=\dfrac{c_{n+1}(c_{n+1}+1)}{c_n}$ やや難
2/5 文系1(2) 正$ n $角形の頂点結んで鈍角三角形ができる確率など 同15お茶大他
2/6 文経済 1 $ \text{PL}^2+\text{PM}^2+\text{PN}^2 $ 17早大商と同じネタ 3 面倒な絶対値積分
2/7 理系 1(1) $ \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}2} |\sin x-\lambda \cos x\ |\ dx $の最小値 (頻出)
2/7 文系1(1) $ n $個のデータの分析
2/8 1(1)円順列 2 $ 324 \mid n^3-n $となる条件 3 $ y=| x^2-1 | $と接線で囲む面積
2/9 文系 三角形ABCの内心Iで$ \dfrac{\text{AI}}{\text{AP}}\cdot \dfrac{\text{BI}}{\text{BQ}} \cdot \dfrac{\text{CI}}{\text{CR}}$の最大値 やや難
2/10 1(1) $ \dfrac{d^n }{dx^n} (e^x \cos x) $ 3 回転放物面と球 やや難
4 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_0^{\frac{\pi}4} (\cos^2 nx-\cos^4 nx)\ \log \left(1+\dfrac{4}{\pi} x\right)\ dx $ やや難
薬1/26 2(1) $ 2(1+i)x^2-(3-i)x+1-i=0 $の実数解 類17工学院大
2/1 全学文系 2 複利計算
2/2 薬 1(3) 3,4,5の三角形でI,O,Hを頂点とする三角形の面積
2/2 全学理系 1 $ \beta $関数
2/2 全学文系 三角形ABCの辺上にP,Q,R $ \triangle \text{PQR}=\dfrac14 \triangle \text{ABC}$となる条件
2/3 全学理系 4 カタラン数(経路)
2/3 全学文系 2 複利計算
2/4 全学文系 3 面倒なトーナメントの確率
2/7 学部個別理系 1 3次方程式の判別式 3 円の列で$ \dfrac1{\sqrt{r_n}}$がフィボナッチ
2/8 センター併用 2 複素数と確率 4 $ \sin x $の逆関数の積分
3/7 薬後期 2 $ |x^2-x-6|=ax+b $の実数解の個数
1/30 4 $ e^{2x}-5e^x+2x+7=a $の実数解の個数
前期 5 本格的な複素数平面の良問
後期 2 ヤングの不等式の類 4 球の分割 5 図形 全体として難しい
前期 3 $ f(x)=x^3-9x^2+24x-16 $の$ x\leqq a $における最大値が極大値と一致する$ a $の範囲
中期2(3) 座標 折れ線最短 3 $ y=x^2 $と法線で囲まれる面積の最小(頻出)
1/26 1(3) 中項定理 (4) $ 8x^2-4x-1=0 $の解を$ \cos \alpha ,\ \cos\beta $として,$ \sin \alpha \sin \beta $の値
他にもチョイチョイ捻りがあって,侮れないセット
前期 1(4) 期待値(出題範囲内)
2 $ x^2+y^2=25 $に内接する格子点三角形の個数 やや面倒
1/19 3 7個のリンゴを3人に分ける重複組み合わせ 4データの分析
1/20 2 立方体を4色で塗り分け
2/4 4 $ 66x+53y=1 $の整数解
1/31 1(2)中項定理 4 3次関数の極大点と極小点の中点が曲線上にあることの証明
大阪物療大学 90分のセットとしては充実しすぎてとても大変かと
1(8) $ x(x+2)(x+3)(x+5)+8 $の因数分解
2(3) $ x^2-3ax+a=0 $の2解が$ \sin\theta,\ \cos\theta $
3 棒に錘をつるす問題.重心が絡み途中から確率分布(誘導はあるので範囲内で解ける)
4 球に内接する円錐の体積の最大値
5 円と直線に接しながら動く円の中心の軌跡
A 1(2) $ \sqrt{4n^2+29}$が整数となる$ n $
2/1 文系 1 3次方程式の解と係数の関係(導出あり)3 $ \dfrac16 $公式の導出
2/1 総合情報 3 空間内の正八面体の3つの頂点が与えられて残りを特定
2/2 2 内分点を次々にとって座標の漸化式 3 $ \sum \sin \dfrac{k\pi}n $の周辺
2/4 文系 1 $ a_{n+1}=3a_n+n^2+2n $ 2 円束(根軸)
2/5 総合情報 2 三角形の重心を通る直線で三角形を分割
2/5 理系 4(1) KAISERSの順列 (体育会部の名前)
2/6 文系 KANNSAIの順列
2/7 理系 1 パラメタ曲線 2 二項定理(帰納法)
2/7 文系 2 外心の位置ベクトル 類 17慶應理工
2/8 文系 $y=x^3+3x^2-9x+6 $に点$ (0,\ p)$から3本の接線
前期 1(2) $ \varphi (2017) $ 2017が素数であるという但し書きなし
2 確率漸化式
3,4も重たい
後期 3 確率の大小比較 4 円柱の一部の体積(難)
医 1/22 1 立方体の塗り分け 同 16順天堂大 難問 3 円に内接する四角形の面積の最大値 類16北里大・医
理系 1/28 1(3) ベルヌーイシフト写像 3 扱いにくい初等幾何
2/11 理工3 $ C:y=(x-2)^2+3 $と$ l: y=\dfrac{x+7}2 $で囲む図形を$ l $の周りに回転
3/8 理系1(2) 循環小数の難問
3/8 医 二等辺三角形で$ \cos A+\cos B+\cos C,\ \dfrac{r}{R}$の最大値
1/23 理工,薬1(3) 桁数,最高位の数字
(4) 空間内で正四面体の3頂点が与えられて,もう一つを特定
1期A 4 2つの円の割線(17IMO 第4問の入り口になる問題)
2/1 理系 1(2)4人じゃんけん
2/1 文系 2(1) 整式の割り算(余り)
2/4 文系 2(2) $ a_{n+1}=\dfrac{3a_n}{2a_n+4} $ 3 $ \displaystyle \int_{a}^{a+1} |x^3 -4x|\ dx $
2/5 理工2 円束
2/1 2 さいころ$ n $回投げて3の倍数が奇数回でる確率
5 四面体で体積比 類98静岡大
1/30 1(2) $ 2x+3y=60 $の整数解について
3 $ \sin\theta+\cos\theta=\dfrac12 $から$ \tan\theta-\dfrac1{\tan\theta}$など
6 正八面体の体積
前期 6 検査の精度
中期 2 $ a^2-b^2 =p $のとき,$ a,\ b $を$ p $で表す 4 細胞分裂の漸化式
7 $ \text{gcd} (2^{100}-1,\ 2^{20}-1) $
A 4 三角形の各辺を1:2に内分
B 2 円に内接する四角形,対角線のなす角の正弦
2 回転放物面の表面積(難)
1/24 2(4) 星の明るさ(等級)常用対数
3(1)球の表面積や体積の増加率(微分係数)