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大学受験予備校で数学の講師をしております.

2017年度 東京慈恵会医科大学 第4問 複素数平面

17慈恵 第4問の複素平面が良問で,質問をたくさん受けるので.

問題文
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複素数平面上の3点A($ \alpha $),B($ \beta $),C($ \gamma $)
は正三角形ABCをなし,$ \alpha \beta \gamma =-1 $をみたしている.
$ \triangle \text{ABC}$の重心D($ \delta $)が実軸上にあり
$ \delta >-1 $であるとき,次の問いに答えよ.ただし,
複素数平面上で複素数$ z $を表す点PをP($ z $)とかく.
(1) $ \triangle \text{ABC}$の外接円の半径$ l $を$ \delta $で表せ.
(2) $ \alpha, \beta, \gamma $を$ \delta $の式でそれぞれ表せ.
ただし,$ -\pi \leqq \arg \alpha \leqq \arg \beta \leqq \arg \gamma \leqq \pi $
とする.
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解法はいろいろありますが,
$ p^3 - q^3 =(p-q)(p-q \omega )(p-q \omega^2)$を利用する
のが方向性として見定めやすいように思います.
ただし,$ \omega $は1の虚数立方根です.
以下,偏角の順序の考察は容易なので後回しにして,
取りあえず(1) および 3頂点を表す複素数を求めてみます.
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$ \alpha, \beta, \gamma $の代わりに,3頂点を$ p, q, r $と表す.
すなわち,複素数の集合として$ \{ \alpha, \beta, \gamma \}=\{p, q, r \}$
である.そして,$ p, q, r $は$ \delta $を中心とする半径$ l $の
円周上に,この順に反時計回りに並ぶとする.

(解1) $ p- \delta =z $とおくと,$ q-\delta =z\omega ,\ r-\delta=z\omega^2 $
と表せる.すなわち,
$ p=\delta+z, q=\delta+z\omega, r=\delta +z\omega^2 . $
ゆえに,
$ pqr =(\delta +z )(\delta +z\omega )(\delta+z\omega^2) $
から,$ -1=\delta^3-(-z)^3=\delta^3+z^3 $を得る.
よって,$ l=|z|=\sqrt[3]{\delta^3+1}$

(2) $ \alpha=\delta -l, \beta=\delta -l\omega ,\ \gamma=\delta -l\omega^2 $

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(類題1)複素平面上で,三角形ABCの頂点を表す複素数を$ \alpha, \beta,\gamma $とする.
$ \alpha, \beta, \gamma $が次の3条件を満たすとする.
・三角形ABCは1辺の長さが$ \sqrt3 $の正三角形
・$ \alpha+\beta+\gamma=3 $
・$ \alpha \beta \gamma $は絶対値が1で,虚部は正
(1) $ z=\alpha- 1 $とおいて,$ \beta, \gamma $を$ z $を使って表せ.
(2) $ \alpha, \beta, \gamma $の偏角を求めよ.(99年京都大・前期)
※ 元の問題は偏角に範囲と順序がついていましたが,省略
(解)
(1) $ 1+z\omega , 1+z\omega^2 $
(2) $-\dfrac{2\pi}9 , \dfrac{\pi}{9}, \dfrac{4 \pi}9 $

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(類題2)$ a,\ b $を実数とする.
3次方程式$ x^3+ax^2+bx+1=0 $は3つの複素数からなる
解$ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $をもち,
これら3つの解が複素数平面上で1辺の長さが$ \sqrt3 $の正三角形
の頂点となる.このような$ a, b $の組をすべて求めよ.(03年 京都大・後期)

(解) $ (a, b)=(0, 0), (3\sqrt[3]{2}, 3\sqrt[3]{4}) $