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大学受験予備校で数学の講師をしております.

2018年度防衛医科大学校 記述式(2017年10月29日実施分)

※ 受験生からの情報を元に再現したもので,実際の問題と
内容,表現に差異がある可能性もあります.

※ 情報を頂いた受験生に厚く御礼申し上げます.

1 次の各問いに答えよ.
(1) $ a $を実数の定数とする.$ x^2+ |2x-a|-a>0 $がすべての実数$ x $で
成立するための$ a $の条件を求めよ.

(答) $ a<0 $


(2) 半径2の円に内接する正10角形の1辺の長さを求めよ.

(答) $ \sqrt5-1 $

(3) $ a,\ b,\ n $を正の整数とする.
$ X=2^a\cdot 3^b $とし,$ X $と$ 5400 $の最小公倍数が16200,
$ X^n $の正の約数の個数が221個であるとする.
このとき,$ a+b+n $の値を求めよ.

(答) 11

(4) 円$ x^2+y^2=1 $上に2点P,Qがあり,常にPQ $=\sqrt2 $を満たしながら
動いている.R($ 2,\ 3 $)として,
内積$ \overrightarrow{\text{RP}}\cdot \overrightarrow{\text{RQ}}$の最小値を求めよ.

(答) $ 13-\sqrt{26}$

2 $ a $を正の定数とする.
点Oを原点とする$ xyz $空間において,
球$ x^2+y^2+z^2-4ax-2y+az-16a-4=0 $と
2点A(1,3,2),B($ -2,\ 1,\ 2 $)を考える.

(1) O,A,Bがすべて球面の内部にあるための$ a $の条件を求めよ.

(答) $ a>\dfrac12 $

(2) 辺AB上の点が1つだけ球面上にあるための$ a $の条件を求めよ.
ただし,点Oは球の内部にあるとする.

(答) $ \dfrac29 < a\leqq \dfrac12,\ a=\dfrac{-25+7\sqrt{13}}{12}$


3 $ p $を$ 0 < p < 1 $を満たす定数とする.1回投げたときに
確率$ p $で表が出て,確率$ 1-p $で裏が出るコインがある.

このコインを投げ続けるとき,表が初めて出るまでに裏がちょうど$ k $回出る
確率を$ P_1 (k)$とする.
また,表が2回出るまでに裏がちょうど$ k $回出る確率を$ P_2 (k)$とする.

次の各問いに答えよ.
ただし,$ 0 < x < 1 $を満たす定数$ x $について,
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nx^n=0,\ \lim_{n \to \infty} n^2 x^n=0 $
が成り立つことを証明せずに用いてよい.

(1) $ P_1(k),\ P_2(k)$を$ p,\ k $で表せ.

(答) $ P_1 (k)=(1-p)^k p,\ P_2(k)=(k+1)(1-p)^k p^2 $

(2) $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n k P_1(k) $を求めよ.

(答) $ \dfrac1p-1 $

(3) $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n k P_2(k) $を求めよ.

(答) $ \dfrac2p-2 $

(更新履歴)
2017/10/29 22:15
2(3)「ただ1つ」
3 リード文 $ P_2 (k)$について「表$ k $回」→ 「裏$ k $回」

2017/10/31 00:02
1(1) 2(2)の問題文の情報を更新.

2017/10/31 21:15 2(2)を確定.

2017/11/08 22:55 1(1)を確定.問題がほぼ判明したので,更新終了.