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大学受験予備校で数学の講師をしております.

2018年度防衛医科大学校 択一式(2017年10月28日実施分)

英数国で90分です.
受験生への取材を素に再現したもので,元の問題と内容,
表現に差異がある可能性がありますがご容赦ください.

1 $ x,\ y,\ z $は正の整数で
$ (2xy+4x+y+2)(\sqrt2+\sqrt3)^2=z+24 \sqrt6 $
を満たす.$ x+y+z $の値を求めよ.

(答) 63

2 $ f_1(x)=1+\dfrac1x,\ f_2(x)=1+\dfrac1{f_1(x)}, f_3(x)=1+\dfrac1{f_2(x)},\ \cdots $
とするとき,$ f_6(x)\leqq 1.624 $を満たす自然数$ x $の個数を求めよ.

(答) 15

3 三角形ABCにおいて,AB $=2a $,BC $=\sqrt3 a $,CA $=6$であり,
$ \angle \text{A}$が最大となるとき,$ a $の値を求めよ.

(答) 6

4 円周上に等間隔に12個の点をとり,
それらに1から12までの番号を付ける.
これら12個の点から異なる3個を選んで,それらを
頂点とする三角形を作るとき,
二等辺三角形になる場合の数を求めよ.

(答) 52

5 2つの袋AとBがあり,Aには白球が2個,赤球が4個入っている.
また袋Bには白球が3個,赤球が3個入っている.
2つの袋から無作為に一方の袋を選び,
選んだ袋から無作為に1個の球を取り出す.
取り出した球が白球であったとき,
選んだ袋がAであった確率を求めよ.

(答) $ \dfrac25 $

6 $ 3^{a+1}-2^{b+1}=7,\ 3^a\cdot 2^b=24 $のとき,$ a $の値を求めよ.

(答) $ 4\log_3 2-1 $

7 $ k $を正の定数とする.
$ f(x)=2 x^3-9k x^2 +12k^2 x+ 1 $とする.
$ f(x)$は$ x=a $で極大,$ x=b $で極小となり,
$ f(a)-f(b)=27 $を満たすとする.
このとき,$ b-a $の値を求めよ.

(答) 3

8 $ k $を0でない実数の定数とし,
$ f(x)=\displaystyle \int_0^1 |a-kx|\ da $とする.
$ f(x)$が最小になるときの$ x $の値を求めよ.

(答) $ \dfrac1{2k}$

9 $ \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=n^2-2n\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) $
が成り立つとき
$ a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{31}$
を求めよ.

(答) 464

10 $ xyz $空間内に3点
A($ ?,\ ?,\ ? $),B($ ?,\ ?,\ ? $),C($ ?,\ ?,\ ? $)
がある.
さらに四角形ABCDが平行四辺形となるように点Dを定めるとき,
平行四辺形ABCDの面積を求めよ.

$ \overrightarrow{\text{AB}}=(10,\ 10,\ -5),\ \overrightarrow{\text{AC}}=(3,\ 5,\ -4)$になる.

(答) $ 25\sqrt2 $

11 $ z=1-\sqrt3 i $とする.
$ z^n $が実数となる最小の自然数$ n $を求めよ.

(答) 3
※ 解答として,「(5) 上の4つはどれも正しくない.」を選ぶ問題.

12 実数$ x,\ y $が$ \dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{4}=1 $を満たしながら
変化するとき,$ 2x+y $の最大値を求めよ.

(答) $ 2\sqrt{14}$

13 $ a $を実数の定数とする.
極限
$$\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+a}-3}{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}} $$
が有限確定値に収束するとき,
その極限値を求めよ.

(答) $ \dfrac1{\sqrt3}$

14 $ f(x)=e^x \cos 2x $とする.
実数の定数$ a,\ b $が
$ f''(x)=ae^x \sin (2x+b) $
を満たすとき,$ a\sin b $の値を求めよ.

(答) $ -3 $

15積分
$$ \int_0^{\frac{\pi}2} (\cos x\sin^3 x-\cos^3 x\sin^3 x+\cos x \sin^7 x)\ dx $$
を計算せよ.

(答) $ \dfrac7{24}$

(更新履歴)
2017/10/31 00:06 第10問の情報を追加
2017/10/31 21:15 ほぼ判明したので,更新終わり