2017入試問題のメモ8（関西地方の国公立大学）
問題は↓（国公立は公開している大学が少ないですが）
過去問題へのリンク（関西地方） - tactn001のブログ
（国立大学）
滋賀大学
1（教経）3次方程式が有理数解を持つ条件．やや難しい整数問題
4（デ）回文数の性質（$ n+1 \mid n^3+1 $を用いる）
5（デ）二項分布，正規分布
滋賀医科大学
例年通り，4題とも味わい深く，そして難しい．入試問題というより，長期休暇の自由研究向け．
1 楕円と折れ線の共有点の個数．y方向に2倍して図形的に判断してもよい
2 速度ベクトル．(3)でコーシーの平均値の定理が登場する
3 $ \cos n\theta $について自力で漸化式を作る
4 さいころ．1が続けて出る確率と，同じ目が続けて出る確率について
理系
1 ジューコフスキ変換 2 四面体の切り口
3 $ \tan (\alpha+2\beta)=2 $，整数
4 三角形の内接円の半径のとりうる値の範囲（受験生の出来悪い）
5 面積
6 各桁1～5で$ n $桁の数が3で割り切れる確率．同17海洋大
文系
1 3次関数と接線．細かいところでちょっと難しい．
2 桁数と整数．難問かつ良問
5 さいころで出た目の最大値，最小値
前期
2 $ y=-\log (\sin x)$の弧の長さ 類17岡山県立大
4 単調数列に関するチェビシェフ不等式 発展バージョンは17熊本大，10東北大（後）
後期
3 図形的に考えるとあっけなく終わる複素数
4 やや扱いにくい確率
理系
1 双曲線
2 コインを5回投げて確率，複素平面（正五角形）
3 ディオファントス近似．かなり難しい
5 回転放物面と円柱の共通部分の体積
文系
1 面積 2 文字消去して最大・最小 3 $ a_{n+1}=8 (a_n)^2 $
前期
1 $ \{a_n\}$が等差数列 $ \iff $ $ \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} a_k $が等差数列 の証明
3 ブラマグプタの定理の証明
後期
1 独立性に気を付ける確率
前期
理系
1 三角関数の極限．標準的な良問
3 四面体から無限等比級数
4 確率とベクトルの融合．状況をうまくつかまないと苦しい
5 トロコイドが結節点を持つ条件．難問．
文系
1，2 微積 3 は理系とほぼ共通の確率
後期
かなり作業量が多いうえに，4，5は内容も難しい．
数学的には興味深い素材が多く，自由研究向け．
１2次関数 ２ 場合の数 ３命題（座標を使って考える．意外と重量級）
前期
1（理）座標，格子点．難しくはないが答が沢山あって大変
3（理） ジューコフスキ変換＋回転
6（生） データの分析 $ y_i=a x_i +b $の変換 類17 成城大・経済
後期
1 $ a_{n+1}=3a_n+4n $ ヒント付
3 各位が1 or 2である$ n $桁の数の中に$ 2^n $で割り切れるものが存在することの証明．良問
1 $ \sqrt[3]{\sqrt5+2} -\sqrt[3]{\sqrt5-2}$が整数であることの証明．類17藤田保健衛生大・医
5 斜め楕円の回転
6 サイクロイドのいろいろ．計算量多い．
（公立大学）
前期 1 $ \log_{a} \sqrt{ab} $と$ \log_{\sqrt{ab}} b $の大小比較など
後期1 (3) 等角らせんの長さ 2 $ \sum \dfrac{1}{\sqrt{k}} $の評価 3 円，位置ベクトル
1 $ \cos \dfrac{2n}{17} \pi $のいろいろ．正17角形の作図可能性がネタにあるが，ボリューム満点で自由研究用素材といったところ
2 正三角形に内接する円の列の無限等比級数．頻出かつ品の良い問題
4 複雑な関数方程式．方向性を誤ると巨大迷路
6 円と放物線が「外接」する条件．面積
1 正20面体のいろいろ．状況の把握が困難で計算も膨大．
4 ロジスティック写像 (5) $ \epsilon - \delta $が必要と思われ，一般的な受験生には酷
前期
理系 1 円柱斜め切り．表面積を求めるところは難問
2 三角形の頂点上の移動．4 座標で与えられた三角形の面積の最大．やや難しい
文系 1 座標平面上のランダムウォーク．類17東大
後期
1 素数定理的な関数の評価
2 $ \cos \dfrac25 \pi $から正五角形の面積
3，4 縮小写像
5 楕円の正射影
前期 3，4 ニュートン法
中期
3 三角関数と領域（面倒）
4 サイコロ$ n $回 目の積が3で割り切れる確率
5 計算の膨大な微積
前期 工学部 4 不等式で表された領域の体積
前期 経 1(1) $ n^2-40n+319 $が素数になる条件 3 実数係数の3次方程式が共役解と実数解を持つことの証明
中期理 1 4辺が2，3，3，4円に内接する四角形 5 さいころと無限級数 類90東大
後期経済 1(1) $ y=x^3,\ y=\dfrac{1}{x} $を定義にしたがって微分
2正多面体の展開図（難）
3 正五角形の面積 類17大阪市立大学
4 三角形の面積をニ等分する線分の長さについて（やや難）
前期 90分15問から6問に変化．ただし，易しくなったとは言い難い
3 無限級数の難問 4 斜軸回転の体積 類17順天堂・医，17産業医大
後期
1 畳み込みの微分方程式 2 $ Z(\sqrt{2})$の単元
3 円分方程式（知らなければ困難）4 思考力を要する数列
3 2次方程式が整数解を持つ条件．何となく，17東北大，17滋賀大に似ている
2017入試問題メモ7（中部地方）
問題は↓
（国立大学）
1 硬貨を続けて投げて，表や裏が連続したら終わりの確率
4 積分の誘導から$ n^n e^{-n+1} < n! < (n+1)^{n+1} e^{-n}$を示す
1 多項定理
前期
経他 4 $ n $が整数のとき$ f(n)$が整数になる条件など
後期
理（数学科）
1(3) $ \vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3),\ \vec{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$のなす角を$ \theta $とするとき，$ |\vec{a}| |\vec{b}|\cos\theta =a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 $を示す．
理系 4 ニュートン法
人間 2 フェルマーの小定理 $ p=7 $
後期 2 $ \cos \dfrac{2\pi}9 $の評価 4 コインを投げて表の出た回数を3で割った余りの確率
医 1 $ x+2y+5z=10n $ 格子点 2 検査の確率 3 サイクロイドの法線 4 球の断面
教 $ \sum [ \log_3 k] $
工他 4 $ \sum \dfrac1{e^k+1} <\log 2 $を示す．
教他 1(4) $ x+y+z \geqq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \geqq \cdots $を示す．
医 2(2) 二項係数 4円錐を切ると放物線
5 $ \dfrac{\cos x \sin 2n x}{\sin x}$の積分 類14東北大
医理経
1 データの分析（共分散） 6 アステロイドの長さ 7 場合分けのある極限
教育
1 $ \sum k^3 $の証明 3 $ \dfrac{\log x}x $の極限
後期
3 放物線と正弦曲線の交点，面積
前期3 $ \pi $の近似 同10大分大・医 4 減衰曲線 7 余りの論証
後期 3 $ 2 \left( \dfrac{m+1}{e} \right)^{m+1} > m! $の証明
農他 2 $ \tan A \tan B \tan C=\tan A+\tan B+\tan C $ 類17島根大
4 $ \{ m^2+n^2\ |\ m,\ n \in Z \} $が積について閉じていることの論証
2 直交2円柱 (3)に共通部分の図示
4 誤謬率の定義を考案し，その意図を述べる
1 $ 8 \sum (k^5+k^7) =n^4 (n+1)^4 $の証明
5 Pell方程式
9 1の5乗根について
2 放物線と接線
理系
2 立方体の頂点上のランダムウォーク
3 球の影 (3)は式のみを追ってもできるが，図形的に考えれば早い
4 巡回群
文系 3 難しい整数の論証
前期
2 外サイクロイド（特にネフロイド）の長さ
3 $ \sum \dfrac1{2^n} \tan \dfrac{\theta}{2^n}$
4 $ 3\alpha^2-6\alpha \beta+4\beta^2 $から三角形を決める
後期
1 放物線の法線，軌跡（放物線の平行曲線が放物線と交わる条件）
2 $ \sum \sin \dfrac{\pi}{n+2k}$の極限 類 04京都工芸繊維大（後）
4 四面体と球の共通部分の体積
（公立大学）
2 不等式 3 $ \dfrac{x^n}{e^x}$の極限 4 $ y=\log x $，接線，体積
岐阜薬科大学
1 三角形に内接する円の列
3 $ \log_x y-\log_y x^{\frac12}< -\dfrac12 $の領域
4 $ 2\alpha^2-2\alpha \beta+\beta^2=0 $ 類17 名古屋工業大学
3 $ e^x x^{n-1} \sin x $の積分 4 $ \left( \dfrac{\alpha}{\beta} \right)^2 =8i $から三角形のいろいろ
名古屋市立大学
前 2 連の個数 4 $ 2^{n-1} \cos \dfrac{(n-1)\pi}3 $
中 1 $ x^b \log x $の極限 2 カテナリー 3 双六
（私立大学）
3 楕円
1(6) $ x-1,\ x+2 $で割った余りを与えて$ (x-1)(x+2)$で割った余り
(8)正四面体のいろいろ
愛知医科大学
3 ババ抜き 同95京大
2/2 歯薬 4(2)抽象的な条件付確率
全体として基礎的で素直な良問
1/27 1(7)傘を忘れるA君，条件付確率 (11) 正八面体のv，e，f
経済B 2/9 $ \displaystyle \int_{x}^{x^2} \log t\ dt $を極大にする$x $
外・経 2/11 1(2)三角形折り紙 (3) ガラスを重ねて光が弱まる常用対数
1(7) 正20面体の辺の本数 (8) 等面四面体（知らなくても解ける）
理工 2/2 1(1) 意外に難しい三角比
農 2/2 3 $ y=| x^2 -3x | $と$ y=ax $で囲まれる面積の最小値
理工2/3 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} n \int_0^1 x^n e^x\ dx $ （$ \delta $関数絡み）類13京都産業大
法 2/3 1(3)6冊の本を分ける場合の数のいろいろ
3 3倍角から$ \dfrac{\pi}{5}$，正五角形の内接円と外接円の半径の比
経 2/11 1 円順列
理工B 2/18 $ m^n \leqq n^m\ (2\leqq m<n ) $を満たす整数$ m,\ n $の組
円と正多角形を次々に外接させると
twitterで見つけた問題です．
半径1の円$ C_3 $に外接する正三角形を$ P_3 $とする．
$ P_3 $に外接する円を$ C_4 $とする．
$ C_4 $に外接する正方形を$ P_4 $とする．
$ P_4 $に外接する円を$ C_5 $とする．
$ C_5 $に外接する正五角形を$ P_5 $とする．
・・・
以下同様に，円$ C_n $が定義されたとき，
$ C_n $に外接する正$ n $角形を$ P_n $とする．
さらに，$ P_n $に外接する円を$ C_{n+1}$とする
($ n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots $)
円$ C_n $の半径を$ r_n\ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$とするとき，
$$ \lim_{n \to \infty} r_n $$
の収束・発散を調べる
というものです．
結論は「収束する」であり，その値は$ 8.7000\cdots $
です．
（極限値が正確にどうなるかは，現時点では私には分かりません）
「収束する」ことの証明なら，次のような感じで
大学入試レベル（標準よりやや上？）の問題になりそうです．
(1) $ \dfrac{r_n}{r_{n+1}} =\cos \dfrac{\pi}n $を導き，次を示せ．
$ r_{n}=\dfrac{1}{\ \cos \dfrac{\pi}3 \cos \dfrac{\pi}4 \cdots \cos \dfrac{\pi}n\ }\ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
(2) $ x>0 $のとき，$ \cos x >1-\dfrac{x^2}2 $と
$ e^x>1+x $を示せ．
(3) $ 0<x<\dfrac{\pi}4 $のとき，$ \dfrac{1}{\ 1-\dfrac{x^2}2\ }<1+x^2 $と$ \dfrac1{\cos x}<e^{(x^2)}$を示せ．
(4) $ n=4,\ 5,\ 6,\ \cdots $に対して，次の不等式を示せ．
$ \dfrac{1}{4^2} +\dfrac{1}{5^2}+\cdots +\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{3\cdot 4}+\dfrac{1}{4\cdot 5}+\cdots +\dfrac{1}{(n-1)n} <\dfrac{1}{3} $
(5) $ r_n<2 e^{\frac{\pi^2}3} $を示せ．
ちなみに，$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $が絶対収束するならば$ (1+a_1)(1+a_2)(1+a_3) \cdots $が収束することはよく知られており，その証明に倣いました．
$ 53< 2e^{\frac{\pi^2}3} <54 $なので，かなり粗いです．
もう少し精度を上げたいなと．
一番有力なのは
$$ \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\dfrac{a^2}{n^2} \right) = \dfrac{\sin \pi a}{\pi a} $$
や
$$ \prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\dfrac{a^2}{n^2} \right) = \dfrac{e^{\pi a }-e^{- \pi a}}{2\pi a} $$
を用いるものです．
ただし，
$$ \prod_{n=1}^{\infty} a_n =a_1 a_2 a_3\cdots $$
(無限積)です．
これらで$ 1-\dfrac{x^2}2 $や$ 1+x^2 $の積の部分を求めるのが一手．
（一般的な高校生のレベルでは難しいかもしれませんが）
高校生レベルでは上の(2)(4)を
$ \cos x > 1-\dfrac{8}{\pi^2} x^2\ \left(0<x<\dfrac{\pi}4 \right)$
$ \dfrac1{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}4 $
にして，$ \cos \dfrac{\pi}3 \cos \dfrac{\pi}4 =\dfrac{1}{2\sqrt2} $を用いると，
$ r_n <2\sqrt{2} e^2 =20.899 \cdots $
まではできました．
（もっと強い評価式を作れば，さらに改善できます・・・）
