円と正多角形を次々に外接させると
twitterで見つけた問題です．
半径1の円$ C_3 $に外接する正三角形を$ P_3 $とする．
$ P_3 $に外接する円を$ C_4 $とする．
$ C_4 $に外接する正方形を$ P_4 $とする．
$ P_4 $に外接する円を$ C_5 $とする．
$ C_5 $に外接する正五角形を$ P_5 $とする．
・・・
以下同様に，円$ C_n $が定義されたとき，
$ C_n $に外接する正$ n $角形を$ P_n $とする．
さらに，$ P_n $に外接する円を$ C_{n+1}$とする
($ n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots $)
円$ C_n $の半径を$ r_n\ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$とするとき，
$$ \lim_{n \to \infty} r_n $$
の収束・発散を調べる
というものです．
結論は「収束する」であり，その値は$ 8.7000\cdots $
です．
（極限値が正確にどうなるかは，現時点では私には分かりません）
「収束する」ことの証明なら，次のような感じで
大学入試レベル（標準よりやや上？）の問題になりそうです．
(1) $ \dfrac{r_n}{r_{n+1}} =\cos \dfrac{\pi}n $を導き，次を示せ．
$ r_{n}=\dfrac{1}{\ \cos \dfrac{\pi}3 \cos \dfrac{\pi}4 \cdots \cos \dfrac{\pi}n\ }\ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$
(2) $ x>0 $のとき，$ \cos x >1-\dfrac{x^2}2 $と
$ e^x>1+x $を示せ．
(3) $ 0<x<\dfrac{\pi}4 $のとき，$ \dfrac{1}{\ 1-\dfrac{x^2}2\ }<1+x^2 $と$ \dfrac1{\cos x}<e^{(x^2)}$を示せ．
(4) $ n=4,\ 5,\ 6,\ \cdots $に対して，次の不等式を示せ．
$ \dfrac{1}{4^2} +\dfrac{1}{5^2}+\cdots +\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{3\cdot 4}+\dfrac{1}{4\cdot 5}+\cdots +\dfrac{1}{(n-1)n} <\dfrac{1}{3} $
(5) $ r_n<2 e^{\frac{\pi^2}3} $を示せ．
ちなみに，$ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $が絶対収束するならば$ (1+a_1)(1+a_2)(1+a_3) \cdots $が収束することはよく知られており，その証明に倣いました．
$ 53< 2e^{\frac{\pi^2}3} <54 $なので，かなり粗いです．
もう少し精度を上げたいなと．
一番有力なのは
$$ \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-\dfrac{a^2}{n^2} \right) = \dfrac{\sin \pi a}{\pi a} $$
や
$$ \prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\dfrac{a^2}{n^2} \right) = \dfrac{e^{\pi a }-e^{- \pi a}}{2\pi a} $$
を用いるものです．
ただし，
$$ \prod_{n=1}^{\infty} a_n =a_1 a_2 a_3\cdots $$
(無限積)です．
これらで$ 1-\dfrac{x^2}2 $や$ 1+x^2 $の積の部分を求めるのが一手．
（一般的な高校生のレベルでは難しいかもしれませんが）
高校生レベルでは上の(2)(4)を
$ \cos x > 1-\dfrac{8}{\pi^2} x^2\ \left(0<x<\dfrac{\pi}4 \right)$
$ \dfrac1{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}4 $
にして，$ \cos \dfrac{\pi}3 \cos \dfrac{\pi}4 =\dfrac{1}{2\sqrt2} $を用いると，
$ r_n <2\sqrt{2} e^2 =20.899 \cdots $
まではできました．
（もっと強い評価式を作れば，さらに改善できます・・・）
2017入試問題のメモ5（東京都内の私立大学と～わ）
問題は↓ （公開されている大学のみ）
過去問題へのリンク（東京都内の私立大学） - tactn001のブログ
医 2/2 全体的にとても作業量が多くて大変
医 2/3 同じく．特に第3問が重い
理・工A 2/7 3 さいころを75回振って1の目が何回出る確率が最大か など
東京医科大学 旧来マーク式のみだったが，第5問で領域の図示が登場
2(2) $ f(x)=\displaystyle \int_1^x \dfrac{x+4t}{\sqrt{3 x^4+t^4}}\ dt\ (x>0)$で$ f'(2) $
2/9 1 $ y=x^2 $と$ y=m(x+3)+5 $が2点で交わる条件と，2交点の中点の軌跡
2 空間ベクトル（カルノーの定理）
2 平凡な微積のようだが，関数の切れ目で接線を引くので，微分可能性などに気を遣う
3 整数 4 本格的な複素数平面（類99 京大理系前）
数理（キチンとした学力があれば
高得点を狙える品の良い問題）
1 $ A=\{\ a+b\sqrt{2}\ |\ a,\ b \in Q \}$について，
$ x\ (\neq 0) \in A $のとき，$ \dfrac1x \in A $を示す．
2 $ 17x+15=1 $の整数解について，$ |x|+|y| $の最小値
6 $ a_{n+1}=\dfrac{2a_n-1}{a_n+4}$について，$ \displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n $
7 $ \left| z-\dfrac12 \right| =\dfrac12 $のとき，$ \dfrac1z $の軌跡
2/1 2梯子と最短経路 3 楕円領域$ \dfrac{x^2}3+y^2\leqq 1,\ x^2+\dfrac{y^2}3 \leqq 1 $の面積と体積 類16福島大
2/2 工・知 3 複素数から$ \cos \dfrac25 \pi $(頻出) 4 $ a=\log \dfrac{2x}{1+x^2}$の実数解の個数
2/2 メディア 2 3つの放物線と面積
薬B 普通な問題
生命B 1(2) $ a_{n+1}=\dfrac{\sqrt3 a_n-1}{a_n+\sqrt3} $ $ a_n=\tan\theta $とおいて
周期性の発見（薬2(2)のベクトルと類似）
4 さいころ$ n $回 目の積を3で割ると2余る確率
経営2/2 1台形のいろいろ
基礎工2/4 2 靴屋のナイフ 3 楕円の極線，体積（計算キツイ）
理，薬（生命）1(2) 放物線の3接線で囲む三角形の外接円が焦点を通る
4 一歩 or 2歩進んで$ n $に到達する確率（同05慶應理工，15横市医，類07理科大薬）
薬2/7 ５は考え方も計算量も厳しい．
理2/8 数学科単独の4，5は非常に難しい（それでも例年より易化）
工2/9 1(1)領域と実数条件 3(4)複素数平面．計算も図形的考察も必要で洒落ている．
医 90分で10題になった
2 $ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-x}{x^3+1}\ dx $ 7 トレミーの定理的な 8 分散
理A 3 正20角形の面積から$ \pi >3.09 $を示す．$ \cos \dfrac{\pi}5 $の誘導あり．
理B生 3 積分に関するコーシー・シュワルツの不等式の証明（1次式限定）
理C 2 $ x^2-(a+5)x+(a-2)^2=0 $の実数解についてのいろいろ
看護 1(5) $ \sqrt{315 n}$が整数となる最小の$ n $ (7)正八面体の面，辺，頂点の個数
3 ピタゴラス数（斜辺の一方が3，4と互いに素のとき，他方が12で割り切れることを示す）
健康A 4-1 円束
健康B 4-1 円が直線から切り取る線分の長さ
2/1 2 アイドルグループSGU37（確率）3 $ y=\sin x,\ y=\sin 3x $面積
N 5センター風味のデータの分析
医A 3 角速度 5 デルトイド
生産工A 2/2 やや考えにくい図形
理工2/11 1(3)データの分析（四分位範囲）
前期 2 $ \dfrac{\pi}7 $の三角関数（複素数）3 積分の極限 5 楕円の極方程式
後期 5 積分型のヘルダーの不等式（大学のテキストそのまま，試験時間内では難）
日本獣医生命科学大
1 $ 37x+53y=41 $で$ |x+y|$の最小値など
理 4 さいころを5回投げて3種類の目が出る確率など
法政大学
文系2/7 1 $ 1\leqq x,\ y,\ z \leqq 3 $で$ \dfrac{y+z+xy}{xy+xz}$の動く範囲
3 $ y=\dfrac{x^3}3-3x^2+6x $に$ \left(-\dfrac43,\ 1 \right)$から引いた接線（3本の傾きが有理数）
理系 2/14 $ y=\dfrac{\log x}{\sqrt{x}}$ $ y $軸回転（類16熊本大）
1 完全順列の確率 2 領域，実数条件 6 易しい群数列
2/2 634，634634，634634634，・・・の中に2017の倍数があることの証明（鳩の巣）
2/4 プトレマイオスの定理の証明
武蔵野美術大学
1(2) 立方体を合同な3つの立体に切り分ける
3 正20面体の隣り合う2面のなす角の余弦
全学統一 理系2/5 4 斜め楕円の体積（面倒）
理工2/7 1(4)面倒な場合の数 2 図形の難問 3 断面求めて体積
総合数理 2 複素数（反転） 4 規則の複雑な数列 5 計算の大変な微積
政治経済 1(4) 二等辺三角形から$ \sin \dfrac{\pi}{10}$
(6) 漸化式 $ a_{n+1}=3a_n+2n+1 $ ノーヒント 類16山形大など
商 3ー2 $ \varphi (p^a q^b )$ 以前に比べると，抑制が効いて実力を発揮しやすいセット
農 他の学部に比べると落ち着いた難度
全学部 1(2) ポーカー (3) 半径1の球に内接する正四面体の体積
A 2/6 2 領域と対数
前1 $ n $の1の位を$ f(n)$として$ f(n^2)-f(n)$についての考察
後2 三角形の折り紙
立教大
どの方式も，第1問の小問集合の量が多い．
大問は，標準的なので目立つ問題は少ないが，実力差の出るセット．
文系 2/14 $S_{n+2}-6S_{n+1}+8S_n=-2 $
人間科学セ 全体としてかなり穏やか
国際教養 2 なす角$ \dfrac{\pi}4 $で一定の軌跡
スポ科 2 場合分けのある合成 3 確率の最大値 例年より難しめ
理工系 1 反転3回 内部が内部に移ることの論証は，現実的にはラフでよいか．類17東大
3 体積比 4 確率
5 方程式の解が回る話．
初め，「実数係数」と読み間違えていたので違和感がなかったのですが，複素係数も考えるのですね．．．受験生に要求するのは酷では．
人間科学 4 複素数のベクトル的な扱い 5 楕円になる軌跡
教育 大変な難問セット
（標準化した点数しか発表されないので目標をつかみづらいが，
合格した受験生に取材した結果では2割～3割でも合格が望める ^^; ）
1(1) 直線の通過領域．面積．小問で出すか・・・（97年に前例があるけれど）
(2) 場合の数の漸化式．難しい．
(3) $ \cos \dfrac{\pi}7 $を解にもつ3次方程式をノーヒントで作らせる．酷
(4) 難しい関数方程式．受験生に疎遠な話題の上，要求されている技術的水準が高い．
2 複素数．何がポイントなのか掴みにくく，入り口に立つのさえ困難
3 唯一，普通の大問．ただし，空間ベクトルなのと，計算がやや辛い
4 点灯する電球の個数の数列．壊滅状態だったとか．
政治経済 やや易化したが1(3)複素数 (4)積和和積などはキツイでしょう
商 1(3) 三角形の内部の点から辺に下ろした垂線の長さの2乗の和の最小．
2 群数列．突破口をつかむのが難しく，計算もキツイ
3 チェビシェフ多項式．(1)は結果を与えないと無理でしょう．14年教育と酷似
2017入試問題のメモ4（東京都内の私立大学あ～て）
問題は↓
過去問題へのリンク（東京都内の私立大学） - tactn001のブログ
大学の数が大変多いので，印象に残った問題を中心にサラッと．
青山学院大学 経済学部だけ突出して問題が難しい．
どの学部も，確率と空間座標は頻出．
経済A 3(1) 破産の確率 (2)(3)数B統計 4 不動点定理 同73名大，92神戸大 など
社会情報A 4 対数と領域
社会情報B 4 の最大最小
理工B 3確率 を合成して
の係数に現れる．
全学部文系 sin，cos の3倍角の導出と不等式
全学部理系 3 三角形の頂点を回る確率漸化式
5 の変曲点における接線，面積
例年通り，素直な出題
経済 3
理 1(1) （油断すると危ない）
2
国際社会2 さいころ3回で洒落た条件付確率
医 1 標準的な小問集合 3 円が3つつながった図形と直線が6点共有．難しい．
薬 確率は例年より易しい．
獣医・海洋 2/1 こちらも少し易化
動物 2期(2/13) 1(1) $ y=x^3+2x+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^3}\ (x>0)$の最小値 (3) 4人じゃんけん
獣医後期（他3期）3/4 1(1) $ \dfrac{1}{1+\sqrt3+2\sqrt2}$の有理化 (2) カード$ n $回 和が偶数になる確率
医 1 巴戦 類16東大他
2 円錐曲線 同84阪大，95東邦大・医
4 チルンハウス曲線もどき．と置くと計算が易しくなる．
薬2 八角形の周の長さ．穴埋めだから何とかなるが，説明には時間を要する．
看護医療 1(4)データの分析 4 正八面体の頂点を辿る確率漸化式
理工 3 リーマン・ルベーグの定理 5 放物線の縮閉線がネイルの半三次放物線
経済 2 チェビシェフ多項式 3 確率 対称性をうまく使いたい
6 定積分で表された関数．対称性の使い方が洒落ている
商 2 長文問題．計算多い
3 平面の方程式を前面に出した出題で，教育課程を考えると無理があるのでは
4 面倒な確率
総3 直方体の体積．不等式をうまく使うが難しい
5 トーナメントの確率 類98南山大など
環 1恒例の和算図形 ちょっと説明不足で廃問になったのが惜しい
2 自然数がの形の（互いに割り切れない）数の和で書けることの証明
4 期待値（範囲外）
医 2 ここ数年でもっとも常識的な確率
3 楕円など．難しく計算量が多い．少し設問を工夫すれば興味深い．
4 回転放物面の体積．同16岐阜薬科大など．
2/5 2 $ \dfrac{19}{4} < \dfrac{m}{n} < \dfrac{m+1}{n} < 5 $を満たす最小のとそのときの
1 $ \cos \dfrac{\pi}5 $を3倍角の公式で導出し，正五角形の面積
3 任意の整数$ m $で$ P(m)$が整数となる多項式$ P(x)$の係数の条件
文系T 2 一般項を予想して数学的帰納法
放射線 2 直角三角形ABC
2/1 4 斜め楕円が囲む図形の面積
2/2 4 で面積から，
医 2 楕円の総合問題．面白いが意味が通じにくい 3 イェンセンの不等式など
スポーツ健康 IAの幅広い分野から基礎に忠実な問題
TEAP 理工 1 直角三角柱の断面が直角三角形 4 導関数と原始関数のグラフ 類04名大
2/5（教，哲，国際関係法）1(2) 平らな土地に塔が立っていて，
2 集合が最小数を持つ条件
理工 3 に原点から引いた接線，面積，体積（両座標軸）4 不定方程式（難問）
医Ⅰ期 1(2) グラム・シュミット
2 一般化するならば鏡像を用いる．$ \left[ \dfrac{n+k+1}2 \right]=m $
として，$ P(M_n=k)=P(Z_n=k)=\dfrac{m}{2^n}$を得る．難問
医II期 2 第2種チェビシェフ多項式 3(2)正12面体の辺の本数
A 4 優勝が決まるタイミングの確率 5 円の接線が絡む図形 7 四面体とベクトル（内積）
B 2 $ | x^2-5x+6 | -2x=a $の実数解の個数 7 四面体とベクトル（面積比）
1(1) が整数 (6) 立体版最短経路
2 球面のベクトル方程式 3 $ y=x^3 -4x $に$ (2,\ a)$から引いた接線
経済A 1 データの分析 同16年信州大 （おそらく，壊滅）
理工 16年が難しかったためか，易化
2/10 今年は比較的穏やかな出題
看護4 原因の確率と呼ばれるもの
2/7 4 三角格子状のランダムウォーク
2/8 3 放物線と3つの線分の共有点
学部別 工学部専用問題は複素数平面（軌跡）
理工セ 1 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \prod_{k=1}^n \left(1+\dfrac{k}{n^2} \right) $ 同12新潟大
2 $ \alpha+\beta=2N-1,\ \alpha\beta=(N+1)^2,\ C_n =\alpha^n +\beta^n $，
$ C_{2017}$を$ N $で割った余り
理工一般 3 点と直線の距離 結果が不思議
4 $ y=ax^3 $と$ y=x\log x $が接する問題
経済 2/14 1(3) $ z^2=3+4i $を解く 3 放物線と接線と面積 同06 京大（文理共通）
数 1(2) $ |z_1 |=|z_2 |=|z_1 +z_2 |=1 $のとき$ |z_1-z_2 | $を求める
情 3 確率$ \dfrac12 $でAとBの球を，確率$ \dfrac12 $でBとCの球を交換
英 1 $ y=| x^2+x-2 |-x-2 $のグラフ 3 漸化式，小数部分
薬・理工 3 5つの円 4 $ y=kx^3 $と法線と$ y $軸で囲まれる図形の面積の最小値
3 2つの2次方程式の実数解
